Dimostrare che un triangolo è rettangolo con le coordinate dei vertici

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Dimostrare che un triangolo è rettangolo con le coordinate dei vertici #64260

avt
marty98
Punto
Salve ragazzi mi occorrerebbe aiuto per stabilire se un triangolo, definito dalle coordinate dei vertici nel piano cartesiano, è un triangolo rettangolo.

Dati i punti A(2;1), B(7/2;3), C(-13/10; 33/5) stabilire se il triangolo ottenuto è rettangolo.


La risposta alla domanda del problema è: sì. Il mio tentativo di svolgimento è il seguente:

AC^2=\left(-\frac{13}{10}-2\right)^2+\left(\frac{33}{5}-1\right)^2=\left[\frac{-13-20}{10}\right]^2+\left[\frac{33-5}{5}\right]^2=\frac{169}{4} =42,25

AB^2=\left(\frac{7}{2}-2\right)^2+(3-1)^2= \frac{9}{4}+4=\frac{25}{4}=6,25

BC^2=\left(-\frac{13}{10}-7\right)^2+\left(\frac{33}{5}-3\right)^2=\frac{1637}{20}=81,85

Applicando quindi il teorema di pitagora dovrebbr essere valida questa uguaglianza:

AC^2+ AB^2= BC^2

Ma non è così, mi aiutate a trovare l’errore per favore?
Grazie per l’aiuto che mi date.
 
 

Dimostrare che un triangolo è rettangolo con le coordinate dei vertici #64262

avt
jimmypage1976
Sfera
Ciao Marty, puoi provare anche così: trovi le equazioni delle rette che passano per i tre punti, sarebbero le equazioni dei lati del triangolo.


Se ne trovi due tali che i loro coefficienti angolari siano uno l'antireciproco dell'altro vuol dire che quelle 2 rette sono perpendicolari tra di loro, quindi formano un angolo di 90 gradi quindi dimostri che il triangolo è rettangolo, visto che comunque per due punti passa una sola retta.

Se prendiamo in esame le rette passanti per le coppie di punti A,B e B,C abbiamo (grazie alla formula della retta passante per due punti)

Retta\ AB:\ \frac{y-1}{3-1}= \frac{x-2}{\frac{7}{2}-2}

Dopo facili calcoli troviamo la retta che ha equazione

y= \frac{4}{3}x -\frac{5}{3}.


Retta\ BC:\ \frac{y-3}{\frac{33}{5}-3}=\frac{x-\frac{7}{2}}{-\frac{13}{10}-\frac{7}{2}}}

che ci dà come equazione

y= -\frac{3}{4}x +\frac{45}{8}.

Come puoi vedere il prodotto dei due coefficienti angolari è uguale a -1

\frac{4}{3}\cdot (-\frac{3}{4})= -1

quindi sono uno l'antireciproco dell'altro quindi le rette sono perpendicolari quindi formano un angolo di 90 gradi quindi abbiamo dimostrato che il triangolo è rettangolo.
Ringraziano: marty98

Dimostrare che un triangolo è rettangolo con le coordinate dei vertici #64277

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao! emt
In realtà il procedimento che proponi va bene marty98. Infatti dato un triangolo di vertici ABC è un triangolo rettangolo (retto in B) se e solo vale la relazione:

AB^2+ BC^2= AC^2

Dobbiamo verificare cioè che vale il celeberrimo teorema di Pitagora.

Usiamo la formula della distanza tra punti:

AB^2= \left(\frac{7}{2}-2\right)^2+ \left(3-1\right)^2

Facciamo i conti

AB^2= \left(\frac{3}{2}\right)^2+2^2= \frac{9}{4}+4= \frac{25}{4}

Sempre grazie alla formula della distanza:

BC^2= \left(-\frac{13}{10}-\frac{7}{2}\right)^2+\left(\frac{33}{5}-3\right)^2= 36

Infine:

AC^2= \left(\frac{33}{5}-1\right)^2+\left(-\frac{13}{10}-2\right)^2= \frac{169}{4}

Ottimo! Osserva ora che:

AB^2+ BC^2= \frac{25}{4}+35= \frac{25+144}{4}= \frac{169}{4}

che è uguale a AC^2. Vale quindi il teorema di Pitagora e il triangolo di vertici ABC è rettangolo.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, CarFaby, marty98
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