Problema con ellisse tangente a una retta

Ciao ragazzi, mi aiutereste con un problema sull'ellisse tangente ad una retta e sull'area di un triangolo? Navigando su internet ho sentito molto parlare di YouMath quindi ho deciso di iscrivermi! Questo problema è stato assegnato dalla professoressa e mi crea molte difficoltà, quindi ho voluto provare qui!

Premetto che l'ellisse l'ho studiata ma provando e riprovando non riesco a risolverlo. Il problema è il seguente:

scrivi l'equazione dell'ellisse tangente alla retta di equazione e passante per il punto . La retta di equazione parallela all'asse delle ascisse, incontra l'ellisse in due punti e ; determina il valore di k in modo che l'area del triangolo misuri 2.


Purtroppo non posso scrivervi il procedimento in quanto non so da dove iniziare, non riesco proprio a capirlo,quindi Vi prego di essere molto dettagliati e di scrivermi tutto il procedimento in modo tale che riesco a comprenderli.

Spero in un vostro aiuto!
Un saluto

Ciao Space,

non importa che il tuo procedimento sia giusto o sbagliato, non importa che le tue idee siano verosimili o strampalate: di certo hai pensato a qualcosa per cercare di risolverlo


perché per poter dire "non riesco a farlo" devi aver pure pensato a qualcosa, ed è ciò che ci interessa sapere.

Grazie Omega per avermi risposto
Ho considerato l'equazione



A questa equazione ho sostituito il punto in modo tale da ottenere che .

Ho riscritto l'equazione



e l'ho messo a sistema con .

Andando a sostituire e considerando la condizione del punto di tangenza \delta=0 ho ottenuto che

quindi l'equazione è



Questo è quello che ho fatto dopo non so come andare avanti!
Fammi sapere

Ciao Space

Hai fatto bene a considerare l'equazione dell'ellisse:



Imponendo il passaggio per il punto avremo che:



E grazie a questa equazione riusciamo a determinare il parametro che è il quadrato di un semiasse dell'ellisse. Avremo che:



Grazie a questa informazione, l'equazione dell'ellisse si scrive come:




Adesso dobbiamo imporre la condizione di tangenza con la retta di equazione



Affinché la retta r sia tangente all'ellisse dobbiamo richiedere che il sistema:



ammetta un'unica soluzione (e questo geometricamente si traduce nel fatto che la retta tocca l'ellisse in un solo punto)

Dalla seconda equazione isoliamo x al primo membro così da scrivere:



e sostituiamo nella prima equazione che si scriverà:



Espandi il quadrato di binomio e scrivendo un po' meglio l'equazione, arriveremo a scrivere:



detta equazione risolvente associata al sistema. Affinché il sistema abbia un'unica soluzione dobbiamo richiedere che anche l'equazione risolvente del sistema ne abbia una sola, e ricordando le condizioni sul discriminante delle equazioni di secondo grado, richiederemo che:



da cui (valore da escludere perché altrimenti il denominatore dell'equazione dell'ellisse si annullerebbe) oppure .

L'equazione dell'ellissi è quindi:



Consideriamo ora la generica retta parallela all'asse delle ascisse:



Sappiamo che essa incontra l'ellisse in due punti di conseguenza il sistema:

ù

ammetterà due soluzioni, e dunque l'equazione risolvente associata:



avrà due soluzioni. Questo è possibile se e solo se

Le due soluzioni sono:



La differenza di questi due valori ci restituisce la lunghezza del segmento RS che sarà la base del triangolo PRS:




Adesso abbiamo bisogno dell'altezza del triangolo in questione. Essa non è altro che la distanza tra la retta di retta di equazione e il punto . In sostanza dovrai utilizzare la formula della distanza punto retta.



Calcoliamo l'area del triangolo.



Imponiamo che l'area del triangolo sia uguale a 2, così da ottenere l'equazione:



Ricorda che per definizione di valore assoluto puoi scrivere:



e l'equazione diventa:



Per le proprietà delle radici quella equazione diventerà:



Abbiamo ottenuto una equazione irrazionale. Eleva al quadrato membro a membro così da ricondurti ad una equazione biquadratica:



Risolvila ed otterrai 4 valori che vanno bene:

Grazie mille Ifrit, sei stato completo ed esaustivo, mi hai fatto capire come dovevo finirlo