Intersezioni tra parabola e circonferenza

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Intersezioni tra parabola e circonferenza #63607

avt
marcolollo
Punto
Salve a tutti, stavolta mi sono inceppato su un problema sui punti d'intersezione tra una parabola e una circonferenza di equazioni date.

La parabola ha equazione y=x2 + 2x -3.

La circonferenza ha equazione x2 + y2 + 2x + 2y - 3 = 0.

Ho provato a mettere a sistema le due equazioni e ho applicato il metodo di riduzione con la conseguente elisione delle x ottenendo un'equazione di 2° grado in y

y2 - 3y=0.

Ho calcolato il delta e ho trovato due ordinate (y=0) e (y=3).

Dopo aver fatto ciò ho provato a sostituire y=0 nelle due equazioni (circonferenza e parabola) ma ho trovato solo due equazioni uguali in questa forma:

x2 +2x - 3 = 0.

I punti da trovare sono quattro e hanno coordinate (0;-3) (1;0) (-2;-3) (-3;0).

Spero di aver scritto tutto in regola questa volta emt
 
 

Re: Intersezioni tra parabola e circonferenza #63622

avt
Omega
Amministratore
Ciao Marcolollo,

in questo genere di esercizi prima di buttarti nei conti può essere d'aiuto fare uno schizzo e disegnare i luoghi geometrici coinvolti. Sia chiaro, non è necessario...ma può aiutare. emt

A titolo di completezza riporto il disegno. Qui abbiamo una parabola e una circonferenza come giustamente hai fatto notare.

grafico intersezioni parabola circonferenza


Ora affrontiamo il discorso dal punto di vista algebrico, che poi è ciò che ti interessa. Dobbiamo risolvere un sistema

\begin{cases}y=x^2+2x-3\\ x^2+y^2+2x+2y-3=0\end{cases}

In caso di dubbi possiamo ricorrere al caro e vecchio metodo di sostituzione. La tua scelta però è più saggia e decidiamo di procedere per riduzione. Scriviamo il sistema come

\begin{cases}x^2+2x-3=y\\ x^2+y^2+2x+2y-3=0\end{cases}

e sostituiamo la seconda equazione con la differenza tra la seconda e la prima. La differenza va calcolata membro a membro. In questo modo passiamo ad un sistema equivalente

\begin{cases}x^2+2x-3=y\\ y^2+2y=-y\end{cases}

Ora concentriamoci sulla seconda. E' un'equazione di secondo grado che possiamo risolvere con un semplice raccoglimento totale

y^2+3y=0

y(y+3)=0

da cui ricaviamo due soluzioni: y=0\ \vee\ y=-3. Molto bene! Torniamo al sistema per le intersezioni

\begin{cases}x^2+2x-3=y\\ y=0\ \vee\ y=-3\end{cases}

Ora che dobbiamo fare? Dobbiamo sostituire separatamente le due soluzioni in y nella prima equazione. In questo modo passiamo a due sistemi di equazioni.

\begin{cases}x^2+2x-3=y\\ y=0\end{cases}\ \cup\ \begin{cases}x^2+2x-3=y\\ y=-3\end{cases}

e quindi otteniamo per sostituzione due equazioni di secondo grado (separate!)

\begin{cases}x^2+2x-3=0\\ y=0\end{cases}\ \cup\ \begin{cases}x^2+2x-3=-3\\ y=-3\end{cases}

che possiamo risolvere separatamente. I conti sono semplici e li lascio a te, vado diretto sui risultati

\begin{cases}x=-3\ \vee\ x=+1\\ y=0\end{cases}\ \cup\ \begin{cases}x=0\ \vee\ x=-2\\ y=-3\end{cases}

Abbiamo finito. In entrambi i sistemi ci basta considerare le possibili coppie che si formano con i valori di ascissa (prima equazione) e con i valori di ordinata (seconda equazione)

\begin{matrix}x=-3,\ y=0 \\ x=+1,\ y=0 \end{matrix}\ \ \cup\ \ \begin{matrix}x=0,\ y=-3 \\ x=-2,\ y=-3  \end{matrix}

ossia 4 punti di intersezione tra parabola e circonferenza, in accordo col disegno

(-3,0),\ (+1,0),\ (0,-3),\ (-2,-3)

Fine. emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois, marcolollo, Iusbe

Re: Intersezioni tra parabola e circonferenza #63628

avt
marcolollo
Punto
Davvero grazie infinite per la tempestiva risposta.

Tutto chiaro, grazie ancora emt
Ringraziano: Omega
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Os