Intersezioni tra parabola e circonferenza

Salve a tutti, stavolta mi sono inceppato su un problema sui punti d'intersezione tra una parabola e una circonferenza di equazioni date.

La parabola ha equazione y=x² + 2x -3.

La circonferenza ha equazione x² + y² + 2x + 2y - 3 = 0.

Ho provato a mettere a sistema le due equazioni e ho applicato il metodo di riduzione con la conseguente elisione delle x ottenendo un'equazione di 2° grado in y

y² - 3y=0.

Ho calcolato il delta e ho trovato due ordinate (y=0) e (y=3).

Dopo aver fatto ciò ho provato a sostituire y=0 nelle due equazioni (circonferenza e parabola) ma ho trovato solo due equazioni uguali in questa forma:

x² +2x - 3 = 0.

I punti da trovare sono quattro e hanno coordinate (0;-3) (1;0) (-2;-3) (-3;0).

Spero di aver scritto tutto in regola questa volta

Ciao Marcolollo,

in questo genere di esercizi prima di buttarti nei conti può essere d'aiuto fare uno schizzo e disegnare i luoghi geometrici coinvolti. Sia chiaro, non è necessario...ma può aiutare.

A titolo di completezza riporto il disegno. Qui abbiamo una parabola e una circonferenza come giustamente hai fatto notare.



Ora affrontiamo il discorso dal punto di vista algebrico, che poi è ciò che ti interessa. Dobbiamo risolvere un sistema



In caso di dubbi possiamo ricorrere al caro e vecchio metodo di sostituzione. La tua scelta però è più saggia e decidiamo di procedere per riduzione. Scriviamo il sistema come



e sostituiamo la seconda equazione con la differenza tra la seconda e la prima. La differenza va calcolata membro a membro. In questo modo passiamo ad un sistema equivalente



Ora concentriamoci sulla seconda. E' un'equazione di secondo grado che possiamo risolvere con un semplice raccoglimento totale





da cui ricaviamo due soluzioni: . Molto bene! Torniamo al sistema per le intersezioni



Ora che dobbiamo fare? Dobbiamo sostituire separatamente le due soluzioni in nella prima equazione. In questo modo passiamo a due sistemi di equazioni.



e quindi otteniamo per sostituzione due equazioni di secondo grado (separate!)



che possiamo risolvere separatamente. I conti sono semplici e li lascio a te, vado diretto sui risultati



Abbiamo finito. In entrambi i sistemi ci basta considerare le possibili coppie che si formano con i valori di ascissa (prima equazione) e con i valori di ordinata (seconda equazione)



ossia 4 punti di intersezione tra parabola e circonferenza, in accordo col disegno



Fine.

Davvero grazie infinite per la tempestiva risposta.

Tutto chiaro, grazie ancora