Equazione con parametro che rappresenta una circonferenza

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Equazione con parametro che rappresenta una circonferenza #63567

avt
marcolollo
Punto
Salve a tutti, ho un esercizio con un'equazione parametrica in cui devo trovare i valori del parametro per i quali essa rappresenta una circonferenza. L'equazione è la seguente

(k-1)x^2 + (1-3k)y^2 - x + ky +1=0

semplicemente non so da dove iniziare... emt
Grazie in anticipo

[Edit - Mod: Omega] Occhio, nell'equazione mancava "=0" [/Edit]
 
 

Equazione con parametro che rappresenta una circonferenza #63575

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao marcolollo. emt

Cortesemente leggi il regolamento che vige sul forum di YouMath.it. Il post che hai inserito non lo rispetta a pieno, in particolare manca il tentativo di svolgimento. Per questa volta chiuderò un occhio ... anzi tutt'e due ;)  



Abbiamo l'equazione è

(k-1)x^2+ (1-3k)y^2-x+k y+1=0

Per trovare il parametro per cui l'equazione rappresenti l'equazione di una circonferenza devi:
- assicurarti che i coefficienti di x^2 e y^2 siano uguali e diversi da zero. Questa informazione ci permette di costruire l'equazione di primo grado:

k-1= 1-3k

da cui ottieni facilmente che:

4k=2\implies k= \frac{1}{2}

Sostituiamo il valore ottenuto nell'equazione

(k-1)x^2+ (1-3k)y^2-x+k y+1=0

Potremo scrivere:

\left(-\frac{1}{2}\right)x^2+ \left(-\frac{1}{2}\right)y^2- x+\frac{1}{2} y+1=0

potremo scrivere:

-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}y^2-x+\frac{1}{2}y+1=0

Facciamo il minimo comune multiplo così da ottenere:

\frac{-x^2- y^2-2x+y+2}{2}=0

Il denominatore non serve più e possiamo cambiare segno:

x^2+y^2+2x-y-2=0

Non abbiamo ancora finito, dobbiamo:

- assicurarci che il raggio della circonferenza appena trovata esista.

Utilizziamo la formula del raggio:
r= \sqrt{\frac{\alpha^2}{4}+\frac{\beta^2}{4}-\gamma}

dove

\bullet\,\,\alpha è il coefficiente di x: ovvero 2

\bullet\,\, \beta è il coefficienti di y: ovvero -1

\bullet\,\,\gamma è il termine noto: ovvero -2

Richiedere che il raggio esista significa che l'argomento della radice sia maggiore di zero (uguale a zero nel caso di una circonferenza degenere.)

Dobbiamo verificare che

\frac{(2)^2}{4}+\frac{(-1)^2}{4}+2 sia maggiore o uguale a zero

Facendo i conti otterrai che questa quantità è positiva! Siamo contenti emt

Per k=\frac{1}{2} l'equazione rappresenta una circonferenza.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, marcolollo
  • Pagina:
  • 1
Os