Equazione con parametro che rappresenta una circonferenza

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Equazione con parametro che rappresenta una circonferenza #63567

avt
marcolollo
Punto
Salve a tutti, ho un esercizio con un'equazione parametrica in cui devo trovare i valori del parametro per i quali essa rappresenta una circonferenza. L'equazione è la seguente

(k-1)x^2+(1-3k)y^2-x+ky+1 = 0

semplicemente non so da dove iniziare... emt
Grazie in anticipo

[Edit - Mod: Omega] Occhio, nell'equazione mancava "=0" [/Edit]
 
 

Equazione con parametro che rappresenta una circonferenza #63575

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao marcolollo. emt

Cortesemente leggi il regolamento che vige sul forum di YouMath.it. Il post che hai inserito non lo rispetta a pieno, in particolare manca il tentativo di svolgimento. Per questa volta chiuderò un occhio ... anzi tutt'e due ;)



Abbiamo l'equazione è

(k-1)x^2+(1-3k)y^2-x+k y+1 = 0

Per trovare il parametro per cui l'equazione rappresenti l'equazione di una circonferenza devi:
- assicurarti che i coefficienti di x^2 e y^2 siano uguali e diversi da zero. Questa informazione ci permette di costruire l'equazione di primo grado:

k-1 = 1-3k

da cui ottieni facilmente che:

4k = 2 ⇒ k = (1)/(2)

Sostituiamo il valore ottenuto nell'equazione

(k-1)x^2+(1-3k)y^2-x+k y+1 = 0

Potremo scrivere:

(-(1)/(2))x^2+(-(1)/(2))y^2-x+(1)/(2) y+1 = 0

potremo scrivere:

-(1)/(2)x^2-(1)/(2)y^2-x+(1)/(2)y+1 = 0

Facciamo il minimo comune multiplo così da ottenere:

(-x^2-y^2-2x+y+2)/(2) = 0

Il denominatore non serve più e possiamo cambiare segno:

x^2+y^2+2x-y-2 = 0

Non abbiamo ancora finito, dobbiamo:

- assicurarci che il raggio della circonferenza appena trovata esista.

Utilizziamo la formula del raggio:
r = √((α^2)/(4)+(β^2)/(4)-γ)

dove

• , ,α è il coefficiente di x: ovvero 2

• , , β è il coefficienti di y: ovvero -1

• , ,γ è il termine noto: ovvero -2

Richiedere che il raggio esista significa che l'argomento della radice sia maggiore di zero (uguale a zero nel caso di una circonferenza degenere.)

Dobbiamo verificare che

((2)^2)/(4)+((-1)^2)/(4)+2 sia maggiore o uguale a zero

Facendo i conti otterrai che questa quantità è positiva! Siamo contenti emt

Per k = (1)/(2) l'equazione rappresenta una circonferenza.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, marcolollo
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Os