Scrivere l'equazione dell'ellisse conoscendo i semiassi

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Scrivere l'equazione dell'ellisse conoscendo i semiassi #6027

Angela Cerchio	Trovo alcune difficoltà nello svolgere un problema sull'equazione dell'ellisse, che devo determinare conoscendo un punto di passaggio e la lunghezza del semiasse maggiore. Mi aiutate? Scrivere l'equazione dell'ellisse, centrata nell'origine, sapendo che passa per il punto e che il suo semiasse maggiore misura 4. Grazie.

Scrivere l'equazione dell'ellisse conoscendo i semiassi #6060

Ifrit

Amministratore

Il problema ci chiede di scrivere l'equazione dell'ellisse, di centro nell'origine, sapendo che:

- il punto

appartiene all'ellisse;

- 4 è la lunghezza del semiasse maggiore.

In generale l'equazione dell'ellisse centrata nell'origine è

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$

dove $a \ \mbox{e} \ b$ sono numeri reali positivi e rappresentano la lunghezza dei semiassi dell'ellisse.

La traccia non fornisce alcuna informazione su chi tra $a \ \mbox{e} \ b$ ricopre il ruolo di semiasse maggiore, perciò dovremo considerare due casi.

Equazione dell'ellisse con semiasse maggiore

Se

è la lunghezza del semiasse maggiore, allora

$a=4 \ \ \ \to \ \ \ a^2=16$

perciò l'equazione dell'ellisse diventa

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Per ricavare il valore di

è sufficiente imporre il passaggio dell'ellisse per il punto

: ciò avviene nel momento in cui le coordinate del punto soddisfano l'equazione dell'ellisse, vale a dire

$\frac{x_P^2}{16}+\frac{y_P^2}{b^2}=1 \ \ \ \to \ \ \ \frac{(-2)^2}{16}+\frac{2^2}{b^2}=1$

Svolgiamo i calcoli e semplifichiamo in maniera opportuna:

$\\ \frac{4}{16}+\frac{4}{b^2}=1\\ \\ \\ \frac{1}{4}+\frac{4}{b^2}=1$

A questo punto risolviamo l'equazione fratta nell'incognita

$\\ \frac{4}{b^2}=1-\frac{1}{4} \\ \\ \\ \frac{4}{b^2}=\frac{3}{4}$

Passando ai reciproci i due membri

$\frac{b^2}{4}=\frac{4}{3}$

e moltiplicando a destra e a sinistra per 4, otteniamo il valore di

$b^2=\frac{16}{3}$

Sostituiamolo nell'equazione dell'ellisse

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{\frac{16}{3}}=1$

e infine esprimiamo in forma normale la frazione di frazioni

$\frac{x^2}{16}+\frac{3y^2}{16}=1$

Questa è l'equazione dell'ellisse (con asse maggiore

) richiesta.

Equazione dell'ellisse con semiasse maggiore

Se

è la lunghezza del semiasse maggiore, allora

$b=4 \ \ \ \to \ \ \ b^2=16$

pertanto l'equazione diventa

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{16}=1$

Per ricavare

procediamo esattamente come prima: imponiamo il passaggio per il punto

e risolviamo l'equazione nell'incognita

$\frac{x_P^2}{a^2}+\frac{y_P^2}{16}=1 \ \ \ \to \ \ \ \frac{(-2)^2}{a^2}+\frac{2^2}{16}=1$

da cui:

$\\ \frac{4}{a^2}+\frac{4}{16}=1 \\ \\ \\ \frac{4}{a^2}+\frac{1}{4}=1\\ \\ \\ \frac{4}{a^2}=1-\frac{1}{4}\\ \\ \\ \frac{4}{a^2}=\frac{3}{4}$

Passiamo ai reciproci e moltiplichiamo i due membri per 4

$\frac{a^2}{4}=\frac{4}{3}\ \ \ \to \ \ \ a^2=\frac{16}{3}$

Sostituiamo il valore nell'equazione dell'ellisse e scriviamo:

$\\ \frac{x^2}{\frac{16}{3}}+\frac{y^2}{16}=1 \\ \\ \\ \frac{3x^2}{16}+\frac{y^2}{16}=1$

Conclusioni

In definitiva ci sono due ellissi di centro nell'origine che rispettano le condizioni del problema e le loro equazioni sono:

$\\ \frac{x^2}{16}+\frac{3y^2}{16}=1\ \ \ \ (\mbox{semiasse maggiore} \ a)\\ \\ \mbox{e} \\ \\ \frac{3x^2}{16}+\frac{y^2}{16}=1 \ \ \ (\mbox{semiasse maggiore} \ b)$

È fatta!

Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Angela

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