Scrivere l'equazione dell'ellisse conoscendo i semiassi

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Scrivere l'equazione dell'ellisse conoscendo i semiassi #6027

avt
Angela
Cerchio
Trovo alcune difficoltà nello svolgere un problema sull'equazione dell'ellisse, che devo determinare conoscendo un punto di passaggio e la lunghezza del semiasse maggiore. Mi aiutate?

Scrivere l'equazione dell'ellisse, centrata nell'origine, sapendo che passa per il punto P(2;-2) e che il suo semiasse maggiore misura 4.

Grazie.
 
 

Scrivere l'equazione dell'ellisse conoscendo i semiassi #6060

avt
Ifrit
Amministratore
Il problema ci chiede di scrivere l'equazione dell'ellisse, di centro nell'origine, sapendo che:

- il punto P(-2,2) appartiene all'ellisse;

- 4 è la lunghezza del semiasse maggiore.

In generale l'equazione dell'ellisse centrata nell'origine è

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1

dove a \ \mbox{e} \ b sono numeri reali positivi e rappresentano la lunghezza dei semiassi dell'ellisse.

La traccia non fornisce alcuna informazione su chi tra a \ \mbox{e} \ b ricopre il ruolo di semiasse maggiore, perciò dovremo considerare due casi.


Equazione dell'ellisse con semiasse maggiore a

Se a è la lunghezza del semiasse maggiore, allora

a=4 \ \ \ \to \ \ \ a^2=16

perciò l'equazione dell'ellisse diventa

\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1

Per ricavare il valore di b^2 è sufficiente imporre il passaggio dell'ellisse per il punto P(x_P,y_P)=(-2,2): ciò avviene nel momento in cui le coordinate del punto soddisfano l'equazione dell'ellisse, vale a dire

\frac{x_P^2}{16}+\frac{y_P^2}{b^2}=1 \ \ \ \to \ \ \ \frac{(-2)^2}{16}+\frac{2^2}{b^2}=1

Svolgiamo i calcoli e semplifichiamo in maniera opportuna:

\\ \frac{4}{16}+\frac{4}{b^2}=1\\ \\ \\ \frac{1}{4}+\frac{4}{b^2}=1

A questo punto risolviamo l'equazione fratta nell'incognita b^2

\\ \frac{4}{b^2}=1-\frac{1}{4} \\ \\ \\ \frac{4}{b^2}=\frac{3}{4}

Passando ai reciproci i due membri

\frac{b^2}{4}=\frac{4}{3}

e moltiplicando a destra e a sinistra per 4, otteniamo il valore di b^2

b^2=\frac{16}{3}

Sostituiamolo nell'equazione dell'ellisse

\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{\frac{16}{3}}=1

e infine esprimiamo in forma normale la frazione di frazioni

\frac{x^2}{16}+\frac{3y^2}{16}=1

Questa è l'equazione dell'ellisse (con asse maggiore a) richiesta.


Equazione dell'ellisse con semiasse maggiore b

Se b è la lunghezza del semiasse maggiore, allora

b=4 \ \ \ \to \ \ \ b^2=16

pertanto l'equazione diventa

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{16}=1

Per ricavare a^2 procediamo esattamente come prima: imponiamo il passaggio per il punto P e risolviamo l'equazione nell'incognita a^2

\frac{x_P^2}{a^2}+\frac{y_P^2}{16}=1 \ \ \ \to \ \ \ \frac{(-2)^2}{a^2}+\frac{2^2}{16}=1

da cui:

\\ \frac{4}{a^2}+\frac{4}{16}=1 \\ \\ \\ \frac{4}{a^2}+\frac{1}{4}=1\\ \\ \\ \frac{4}{a^2}=1-\frac{1}{4}\\ \\ \\ \frac{4}{a^2}=\frac{3}{4}

Passiamo ai reciproci e moltiplichiamo i due membri per 4

\frac{a^2}{4}=\frac{4}{3}\ \ \ \to \ \ \ a^2=\frac{16}{3}

Sostituiamo il valore nell'equazione dell'ellisse e scriviamo:

\\ \frac{x^2}{\frac{16}{3}}+\frac{y^2}{16}=1 \\ \\ \\ \frac{3x^2}{16}+\frac{y^2}{16}=1


Conclusioni

In definitiva ci sono due ellissi di centro nell'origine che rispettano le condizioni del problema e le loro equazioni sono:

\\ \frac{x^2}{16}+\frac{3y^2}{16}=1\ \ \ \ (\mbox{semiasse maggiore} \ a)\\ \\ \mbox{e} \\ \\ \frac{3x^2}{16}+\frac{y^2}{16}=1 \ \ \ (\mbox{semiasse maggiore} \ b)

È fatta!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Angela
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Os