Scrivere l'equazione dell'ellisse conoscendo i semiassi

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Scrivere l'equazione dell'ellisse conoscendo i semiassi #6027

avt
Angela
Cerchio
Buonasera a tutti, ho difficoltà nello svolgere questo problema sull'equazione dell'ellisse, che devo calcolare conoscendo i semiassi, mi aiutate?

Questa è la traccia: scrivi l'equazione dell'ellisse che passa per P(2;-2); il suo semiasse maggiore misura 4.

Mi spieghereste anche i vari passaggi, per piacere? E' un argomento nuovo per me e non ancora l'ho capito tanto bene...Grazie! emt
 
 

Scrivere l'equazione dell'ellisse conoscendo i semiassi #6029

avt
Angela
Cerchio
Ci sarebbe anche quest'altro problemino... aiutatemi se potete! emt

Data l'ellisse di equazione 16x^2 + 9y^2 -144 = 0 determina le coordinate dei vertici e quelle dei fuochi.

Grazie emt

Scrivere l'equazione dell'ellisse conoscendo i semiassi #6060

avt
frank094
Maestro
Ciao Angela, sempre meglio evitare di pubblicare più di un esercizio per topic, in questo caso faccio uno strappo alla regola e ti rispondo ugualmente.

Prima di procedere è necessario fare qualche considerazione e richiamare le formule dell'ellisse.

L'equazione dell'ellisse è

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

dove a rappresenta il semiasse che giace sull'asse delle x, mentre b quello sull'asse delle y; inoltre è bene sapere che in una ellisse i vertici hanno coordinate

V_{1, 2} = (\pm a, 0)

V_{3, 4} = (0, \pm b)

mentre i fuochi dell'ellisse hanno coordinate

F_{1, 2} = (\pm c, 0) = (\pm \sqrt{a^2 - b^2}, 0) \qquad se \qquad a^2 > b^2

F_{1, 2} = (0, \pm c) = (0, \pm \sqrt{b^2 - a^2})\qquad se \qquad b^2 > a^2

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Il primo esercizio ci da già l'equazione canonica dell'ellisse

16x^2 + 9y^2 = 144

scriviamola nella forma vista in precedenza dividendo tutto per 144..

\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1

Poiché b^2 > a^2 i fuochi si trovano sull'asse delle y .. ad ogni modo si ha

V_{1, 2} = (\pm \sqrt{9}, 0) = (\pm 3, 0)

V_{3, 4} = (0, \pm \sqrt{16}) = (0, \pm 4)

mentre per quanto riguarda i fuochi si ha

F_{1, 2} = (0, \pm c) = (0, \pm \sqrt{16 - 9}) = (0, \pm \sqrt{7})

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Il secondo esercizio è facilmente risolvibile imponendo le due condizioni e poi risolvendo rispetto ai parametri a, b \in \mathbb{R}.
Ti dice che il semiasse maggiore misura 4, ma tu non puoi sapere a prescindere quale sia il semiasse maggiore, perciò la soluzione è composta di due sistemi.

1) Consiste nell'imposizione del passaggio per P con la condizione a = 4 .. si ha

\frac{4}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1

\frac{4}{16} + \frac{4}{b^2} = 1

\frac{4}{b^2} = \frac{3}{4}

b^2 = \frac{16}{3}

L'equazione che ne risulta è

\frac{x^2}{16} + \frac{3y^2}{16} = 1

2) Consiste nell'imposizione del passaggio per P con la condizione b = 4 .. si ha

\frac{4}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1

\frac{4}{16} + \frac{4}{16} = 1

\frac{4}{a^2} = \frac{3}{4}

a^2 = \frac{16}{3}

L'equazione che ne risulta è

\frac{3x^2}{16} + \frac{y^2}{16} = 1

E' tutto chiaro?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Angela

Re: Scrivere l'equazione dell'ellisse conoscendo i semiassi #6253

avt
Angela
Cerchio
tutto chiaro, chiarissimo! Ti ringrazio! emt
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Os