Valore del coefficiente angolare di una retta per un trapezio di area nota

Cordiali saluti a tutti. Il problema di oggi mi chiede di trovare il coefficiente angolare di una retta in modo che essa formi un trapezio di area nota. Eccolo...

Sia data la retta s di equazione x=5. Sia inoltre t la retta di equazione y=mx+n passante per P=(0,3) e tale che m>0. Per quale m appartenente ad R l'area del trapezio formato dalle rette s, t, x e y vale 21?

Di seguito posto comunque il procedimento "formale" risolutivo, ma mi piacerebbe che qualcuno mi aiuti a trascriverlo/tradurlo in espressioni matematiche, perché io da solo non ci riesco.

Eccolo:

- Si disegna la retta t di equazione y=mx+q imponendo la condizione di appartenenza del punto P(0,3) e visto che è un punto sull'asse delle y sarà l'intercetta della retta con l'asse y e quindi q=3.

- Si disegna anche la generica retta con coefficiente angolare m>0 (inclinata 1°e 3° quadrante) passante per P.

- Si disegna anche la retta s (x=5) e calcola l'intersezione tra s e t in funzione di m.

- Si evidenzia il trapezio nel disegno delimitato dalle rette t e s e dagli assi cartesiani e si calcola l'area, calcolando prima le necessarie distanze tra i punti per trovare le basi e l'altezza (tutto sempre in funzione di m).

- Si calcola l'area del trapezio (sempre in funzione di m)

- Si pone l'espressione dell'area ottenuta (in funzione di m) uguale a 21 e si trovano, dall'equazione che ne deriva, gli eventuali valori di m che saranno accettabili solo se >0


Grazie in anticipo.

Ciao vinx91ct

abbiamo le rette:





il punto

Sostituendo quindi le coordinate di tale punto alla retta r abbiamo:



e quindi la sua equazione diventa:



ovvero, come ben dici la sua intercetta sarà 3.

Poiché il trapezio è delimitato dalle rette r,s, dall'asse x e dall'asse y, abbiamo già le coordinate di 3 vertici del trapezio:

L'origine:

Il punto

Il punto

L'altro punto (lo chiamo Q), come da te osservato, sarà il punto di intersezione tra le rette r ed s, ovvero:





da cui:

Ora il nostro trapezio, osserva che è un trapezio rettangolo ha per basi i lati:

e

e per altezza



Per trovarle ho applicato la formula della distanza tra due punti aventi stessa ascissa (o ordinata)

Pertanto, ci basta imporre che sia:



ovvero:



da cui:



equazione in valore assoluto che ci fornisce i due valori di m:

(non accettabile per ipotesi)

ed

che è il valore richiesto