Valore del coefficiente angolare di una retta per un trapezio di area nota

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Valore del coefficiente angolare di una retta per un trapezio di area nota #59590

avt
vinx91ct
Banned
Cordiali saluti a tutti. Il problema di oggi mi chiede di trovare il coefficiente angolare di una retta in modo che essa formi un trapezio di area nota. Eccolo...

Sia data la retta s di equazione x=5. Sia inoltre t la retta di equazione y=mx+n passante per P=(0,3) e tale che m>0. Per quale m appartenente ad R l'area del trapezio formato dalle rette s, t, x e y vale 21?

Di seguito posto comunque il procedimento "formale" risolutivo, ma mi piacerebbe che qualcuno mi aiuti a trascriverlo/tradurlo in espressioni matematiche, perché io da solo non ci riesco.

Eccolo:

- Si disegna la retta t di equazione y=mx+q imponendo la condizione di appartenenza del punto P(0,3) e visto che è un punto sull'asse delle y sarà l'intercetta della retta con l'asse y e quindi q=3.

- Si disegna anche la generica retta con coefficiente angolare m>0 (inclinata 1°e 3° quadrante) passante per P.

- Si disegna anche la retta s (x=5) e calcola l'intersezione tra s e t in funzione di m.

- Si evidenzia il trapezio nel disegno delimitato dalle rette t e s e dagli assi cartesiani e si calcola l'area, calcolando prima le necessarie distanze tra i punti per trovare le basi e l'altezza (tutto sempre in funzione di m).

- Si calcola l'area del trapezio (sempre in funzione di m)

- Si pone l'espressione dell'area ottenuta (in funzione di m) uguale a 21 e si trovano, dall'equazione che ne deriva, gli eventuali valori di m che saranno accettabili solo se >0



Grazie in anticipo.
 
 

Valore del coefficiente angolare di una retta per un trapezio di area nota #59602

avt
Galois
Amministratore
Ciao vinx91ct emt

abbiamo le rette:

s: \ x=5

r: \ y=mx+n

il punto P(0,3) \in r

Sostituendo quindi le coordinate di tale punto alla retta r abbiamo:

3=0+n \to n=3

e quindi la sua equazione diventa:

r: \ y=mx+3

ovvero, come ben dici la sua intercetta sarà 3.

Poiché il trapezio è delimitato dalle rette r,s, dall'asse x e dall'asse y, abbiamo già le coordinate di 3 vertici del trapezio:

L'origine: O(0,0)

Il punto A= s \cap (asse x) = (5,0)

Il punto P(0,3)

L'altro punto (lo chiamo Q), come da te osservato, sarà il punto di intersezione tra le rette r ed s, ovvero:

Q: \begin{cases}r \\ s \end{cases}

Q: \begin{cases}y=mx+3 \\ x=5 \end{cases}

da cui: Q(5, \ 5m+3)

Ora il nostro trapezio, osserva che è un trapezio rettangolo ha per basi i lati:

OP=3 e AQ=|5m+3|

e per altezza

OA=5

Per trovarle ho applicato la formula della distanza tra due punti aventi stessa ascissa (o ordinata)

Pertanto, ci basta imporre che sia:

Area \ Trapezio = \frac{(OP+AQ) \cdot OA }{2} = 21

ovvero:

(3+|5m+3|)\cdot 5 = 42

da cui:

5|5m+3|=27

equazione in valore assoluto che ci fornisce i due valori di m:

m=-\frac{42}{25} (non accettabile per ipotesi)

ed m=\frac{12}{25}

che è il valore richiesto emt
Ringraziano: Omega
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Os