Parametro di una retta con l'area di un triangolo

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Parametro di una retta con l'area di un triangolo #59389

avt
vinx91ct
Banned
Cordiali saluti a tutti. Non riesco a risolvere un problema in cui devo trovare il valore di un parametro di una retta tale da formare un triangolo di area nota.

Siano r e t le rette di equazione, rispettivamente, y=x+2 e x=k, con k parametro reale >=1. Sia inoltre s la retta perpendicolare ad r e passante per il punto P=(1,3).

Per quale k >= 1 l'area del triangolo delimitato da r,s e t è pari a 9?
.


Di seguito posto il procedimento "formale" risolutivo, ma mi piacerebbe che qualcuno mi aiuti a trascriverlo/tradurlo in espressioni matematiche, perché io da solo non ci riesco.

Eccolo:

- Occorre prima di tutto trovare l'equazione della retta s perpendicolare a r e che passa per il punto P(1,3) impostando l'equazione del fascio proprio di centro stella in P(1,3) con la solita equazione per un punto e imponendo la condizione di perpendicolarità dei coefficienti angolari.

- Si disegnano tutte le rette trovate compresa la verticale generica x=k (che rappresenta il fascio di rette verticali).

- Si trovano le coordinate di tutti i punti di intersezione delle 3 rette in funzione di k.

- Si calcola l'area del triangolo in funzione di k calcolando la base e l'altezza (bastano i 2 cateti perché è un triangolo rettangolo).

- Si pone l'espressione dell'area in funzione di k uguale a 9 e si trovano, dall'equazione che ne deriva, gli eventuali valori di k che saranno accettabili solo se >=1



Grazie in anticipo.
 
 

Parametro di una retta con l'area di un triangolo #59392

avt
Veny
Cerchio
Ciao... emt

Abbiamo i seguenti dati..
r: y=x+2

t: x =k

P (1;3)

P \in s

Per prima cosa come hai giustamente detto te bisogna trovare la retta s.

Troviamo il coefficiente angolare della retta s che essendo perpendicolare a r ha un coefficiente angolare antireciproco.

m_{s}=-\frac{1}{m_{r}}= -1

Troviamo quindi la retta s:

s:  y-y_{P}=m_{s}\left(x-x_{P}\right)
 y-3=-1(x-1)
 y=-x+4

Dopo aver disegnato le tre rette come hai giustamente detto ti troverai con un triangolo generico che varia in base alla retta verticale t.

A questo punto trovo le coordinate dei punti vertici del triangolo:

A = r \cap  t

Mettendo a sistema le due rette r e t otterrai le coordinate del punto A (k,k+2)

Mettendo a sistema le due rette s e t otterrai le coordinate del punto B (k,-k+4)

Ora basterà calcolare la lunghezza dei due cateti \overline{AP} e \overline{BP} applicando la formula della distanza tra due punti:

\overline{AP}=\sqrt{\left(k-1\right)^{2}+\left(k+2-3\right)^{2}}=\sqrt{2\left(k-1\right)^{2}}=\sqrt{2}\left(k-1\right)

\overline{BP}=\sqrt{\left(k-1\right)^{2}+\left(-k+4-3\right)^{2}}=\sqrt{2\left(k-1\right)^{2}}=\sqrt{2}\left(k-1\right)

A questo punto l'area del triangolo rettangolo sarà la metà del prodotto tra i due cateti.

A = \frac{2\left(k-1\right)^{2}}{2}=9

Quindi:

\left(k-1\right)^{2}=9

Allora tra le due soluzioni che ritroviamo k =4 è accettabile e k=-2 non lo è.

Spero di essere stata d'aiuto. emt
Ringraziano: Omega, vinx91ct, Galois

Re: Parametro di una retta con l'area di un triangolo #59479

avt
vinx91ct
Banned
Ciao e grazie dell'aiuto. Avrei alcune domande da farti:

1) nel primo passaggio come facciamo a dire che m_s=-\frac{1}{m_r}=-1? Noi non sappiamo in realtà quanto vale m_r.

2) Se \overline{AP}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}, come mai hai preferito mettere proprio k=x_2 e 1=x_1, così anche per y? In base a quale criterio devo scegliere x_1 e  x_2 oppure y_1 e y_2? Anche perché altrimenti viene fuori un altro risultato e io non capisco se è quello giusto o meno. Questo penso che valga come regola generale: come si fa a scegliere qual è l'ordine corretto?

Re: Parametro di una retta con l'area di un triangolo #59490

avt
Galois
Coamministratore
Ciao a tutti emt

1) nel primo passaggio come facciamo a dire che m_s=-\frac{1}{m_r}=-1? Noi non sappiamo in realtà quanto vale m_r.


Ti invito a leggere con estrema attenzione i link alle lezioni che ho inserito nell'eccellente risposta di Veny, in particolare quella sul coefficiente angolare (grazie alla quale scoprirai come si calcola il coefficiente angolare di una retta nota la sua equazione) e quella sulle rette perpendicolari che ti farà capire come determinare il coefficiente angolare di una retta perpendicolare ad una retta data.

In risposta alla tua seconda domanda:

Supponiamo di avere due punti A(x_A,y_A), \ B(x_B,y_B) e di volerne calcolare la distanza: possiamo indifferentemente usare una delle due formule:

AB=\sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A-y_B)^2}

AB=\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}

ed il risultato sarà sempre lo stesso! Infatti la differenza tra

(x_A - x_B) e (x_B - x_A)

sarà solo di segno. Una tra le due sarà infatti una quantità positiva, l'altra negativa. Ma dovendole poi elevare al quadrato la sostanza non cambia emt
Ringraziano: Omega, Veny

Re: Parametro di una retta con l'area di un triangolo #59584

avt
vinx91ct
Banned
Grazie ad entrambi per le risposte chiare.

Vado direttamente alla risposta di Galois. Ho letto bene (certo sempre con con le capacità di un novizio) i post da te "linkati"; tuttavia, non riesco ancora a giungere alla soluzione del perché è -1.

Mi spiego meglio. È vero che il prodotto di m_s \cdot m_r=-1 questo perché dalla teoria sappiamo che le rette perpendicolari hanno questo tipo di coefficiente. E fino a qui nessun problema.

Il problema nasce quando devo applicare la teoria alla pratica.

E cioè: va bene che il prodotto di m_s ed m_r è uguale a -1, ma allora sto assumendo

(visto che m_s=-\frac{1}{m_r}=-1),

dicevo, sto assumendo che m_r=1, questo perché m_s=-\frac{1}{1}=-1.

Ma io assumo che m_r=1 perché nell'equazione della retta esplicita r : y=-x+2, proprio in questo caso specifico è come se m_r=1, ossia è come se avessi r: y=-(m_r)x+2 ?

Siccome nell'equazione esplicita del testo la m non compare ma compare solo -x, allora si deduce che m=1?

Scusate l'insistenza (e l'ignoranza mia soprattutto), ma se non ho capito è inutile chiudere questa bella discussione emt emt

Re: Parametro di una retta con l'area di un triangolo #59594

avt
Galois
Coamministratore
Eccomi emt

Ho capito cosa non ti è chiaro e quello che ora dirò dovrebbe chiarire il tuo dubbio emt

Se abbiamo una retta in forma esplicita, cioè del tipo:

y= \ qualcosa

il coefficiente angolare della retta è il coefficiente della x!

Così, se abbiamo la retta:

y=2x+3 il suo coefficiente angolare è 2, se invece consideriamo:

y=\frac{1}{3}x + 7 il suo coefficiente angolare è \frac{1}{3}

e quindi, nel tuo caso, avendo la retta:

r: \ y=-x+2 il suo coefficiente angolare sarà -1 in quanto -1 è il coefficiente della x emt

Se invece l'equazione della retta è in forma implicita, cioè del tipo:

ax+by+c=0

allora il suo coefficiente angolare, così come indicato nella lezione del link, è dato da

m=-\frac{a}{b}

dove a è il coefficiente della x e b il coefficiente della y emt
Ringraziano: vinx91ct

Re: Parametro di una retta con l'area di un triangolo #59679

avt
vinx91ct
Banned
Ciao Galois,

ti dico subito che quello era proprio il mio dubbio e che hai centrato la risposta in pieno.

O bene, mi hai scritto che il coefficiente angolare (m) dell'equaizone esplicita y=-x+2 è -1 (perché nell'equazione della retta esplicita del nostro testo abbiamo -x). O.k., tanto di cappello perché non ci sarei arrivato da solo.
Quindi scriviamo m_r=-1

Sapendo che la formula generica per trovare il coefficiente angolare quando e soltanto quando le rette sono perpendicolari è

m_1=-\frac{1}{m_2}

dove m_1 è il coefficiente angolare della generica retta 1 e m_2 è il coefficiente angolare della generica retta 2 che è perpendicolare alla retta 1. O.k.

Ora però nel nostro caso specifico, visto che noi vogliamo sapere qual è il coefficiente angolare della retta s, noto il coefficiente angolare della retta r (che ripeto è m_r=-1, come tu stesso mi hai fatto notare bene), la formula generica scritta lì sopra diventa allora

m_s=-\frac{1}{(m_r)} \rightarrow  con \ m_r=-1 \xrightarrow[risultare]{dovrebbe}-\frac{1}{(-1)}=1 \ e \ non \ (-1)

In sostanza quindi, il coefficiente angolare di m_r dovrebbe essere 1 e non -1.

Dove sbaglio ora?

Grazie ragazzi per questa assistenza, senza di voi sarei, come suole dirsi, "alla frutta".

Re: Parametro di una retta con l'area di un triangolo #59684

avt
Galois
Coamministratore
Molto semplicemente in uno dei tuoi post hai sbagliato a scrivere la retta r.

nel testo iniziale (la prima domanda che hai posto) hai scritto:

r: \ y=x+2 il cui coefficiente angolare è m_r=1 e quindi il coefficiente angolare di una retta ad essa perpendicolare sarà:

/m_s = -\frac{1}{m_r}=-1

così come indicato da Veny

Nella tua successiva replica poi dici che la retta r è:

r: \ y=-x+2

il cui coefficiente angolare è -1 e quindi:

m_s = -\frac{1}{m_r}=1

(come ben dici)

Insomma il tutto è nato da un'errata trascrizione della retta r emt
Ringraziano: vinx91ct
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