Calcolo del baricentro di un triangolo

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Calcolo del baricentro di un triangolo #5892

avt
yasmab
Cerchio
Mi è stato assegnato un esercizio di geometria analitica che riguarda il baricentro di un triangolo. In buona sostanza dovrei calcolare le coordinate del baricentro e quelle di un vertice del triangolo.

Il punto d'intersezione G delle mediane di un triangolo ABC si trova sull'asse delle ascisse. Due vertici coincidono con i punti A(2,-3) e B(-5,1), il terzo vertice sta sull'asse delle ordinate. Determinare le coordinate dei punti C e G.

Grazie.
 
 

Calcolo del baricentro di un triangolo #5929

avt
Ifrit
Amministratore
Siano A,B \ \mbox{e} \ C i vertici di un triangolo dove A\ \mbox{e} \ B sono:

\\ A(x_{A},y_{A})=(2,-3) \\ \\ B(x_{B},y_{B})=(-5,1)

L'esercizio ci chiede di calcolare le coordinate del vertice C e del punto di intersezione delle mediane del triangolo G.

Sappiamo che G si trova sull'asse delle ascisse, il che vuol dire che l'ordinata del punto è y_G=0

G(x_G, y_{G})=(x_{G},0)

Sappiamo inoltre che il terzo vertice del triangolo giace sull'asse delle ordinate, perciò l'ascissa del punto C è x_{C}=0.

C(x_{C},y_{C})=(0,y_C)

Per definizione, l'intersezione delle mediane di un triangolo è il suo baricentro, le cui coordinate sono date dalle formule

\\ x_G =\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ \\ \\ y_{G}=\frac{y_A + y_B + y_C}{3}

In altri termini l'ascissa del baricentro è la media aritmetica delle ascisse dei vertici, mentre l'ordinata è la media aritmetica delle ordinate.

Poiché y_G=0\ \mbox{e}\ \ x_{C}=0 le precedenti relazioni consentono di costruire un sistema lineare nelle incognite x_{G}\ \mbox{e}  \ y_{C}

\begin{cases}\dfrac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}=x_{G}\\ \\ \dfrac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}=y_{G}\end{cases}

che, una volta sostituiti i valori noti, diventa

\\ \begin{cases}\dfrac{2+(-5)+0}{3}=x_{G}\\ \\ \dfrac{-3+1+y_{C}}{3}=0\end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases}x_G=-1\\ \\ \dfrac{-2+y_{C}}{3}=0 \ \to \ y_{C}=2\end{cases}

Possiamo concludere che l'ascissa del baricentro è x_{G}=-1, mentre l'ordinata del vertice C è y_{C}=2.

Fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, yasmab
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Os