Calcolo del baricentro di un triangolo

Mi è stato assegnato un esercizio di geometria analitica che riguarda il baricentro di un triangolo. In buona sostanza dovrei calcolare le coordinate del baricentro e quelle di un vertice del triangolo.

Il punto d'intersezione delle mediane di un triangolo si trova sull'asse delle ascisse. Due vertici coincidono con i punti e , il terzo vertice sta sull'asse delle ordinate. Determinare le coordinate dei punti e .

Grazie.

Siano i vertici di un triangolo dove sono:



L'esercizio ci chiede di calcolare le coordinate del vertice e del punto di intersezione delle mediane del triangolo .

Sappiamo che si trova sull'asse delle ascisse, il che vuol dire che l'ordinata del punto è



Sappiamo inoltre che il terzo vertice del triangolo giace sull'asse delle ordinate, perciò l'ascissa del punto è .



Per definizione, l'intersezione delle mediane di un triangolo è il suo baricentro, le cui coordinate sono date dalle formule



In altri termini l'ascissa del baricentro è la media aritmetica delle ascisse dei vertici, mentre l'ordinata è la media aritmetica delle ordinate.

Poiché le precedenti relazioni consentono di costruire un sistema lineare nelle incognite



che, una volta sostituiti i valori noti, diventa



Possiamo concludere che l'ascissa del baricentro è , mentre l'ordinata del vertice è .

Fatto!