Determinare l'equazione di una circonferenza passante per tre punti

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Determinare l'equazione di una circonferenza passante per tre punti #5799

avt
000Claudy000
Punto
Vi prego aiutatemi, perché l'altro giorno non c'ero alla spiegazione della circonferenza che passa per tre punti. :( Vorrei vedere il metodo da seguire per risolvere questo esercizio:

una circonferenza passa per il punto (2,5) e taglia l'asse x nei punti di ascissa x_1=4 e x_2=-2; trovare la sua equazione, il suo centro e la misura del suo raggio.

Non riesco ad iniziare il problema! Grazie mille! emt
 
 

Determinare l'equazione di una circonferenza passante per tre punti #5803

avt
cichia
Cerchio
L'equazione della circonferenza è

x^2+y^2+\alpha\,x+\beta\,y+\gamma=0

Per trovare la circonferenza passante per tre punti (ovviamente tre incognite=tre punti emt ) ti basta sostituire le coordinate dei tre punti nell'equazione generica e risolvere il sistema ottenendo cosi i valori di \alpha,\beta,\gamma che fissano la tua particolare circonferenza.

Per trovare raggio e centro ti basterà poi usare le relative formule (qui su YM c'è un bellissimo formulario sulla circonferenza)

C=(-\frac{\alpha}{2},-\frac{\beta}{2})

r=\sqrt{\left(-\frac{\alpha}{2}\right)^2+\left(-\frac{\beta}{2}\right)^2-\gamma}
Ringraziano: Ifrit

Determinare l'equazione di una circonferenza passante per tre punti #5804

avt
cichia
Cerchio
Scriviti quindi i tuoi 3 punti e prova a sostituirli nell'equazione per ottenere il sistema emt

Determinare l'equazione di una circonferenza passante per tre punti #5868

avt
Omega
Amministratore
Magari vediamo anche le soluzioni emt

Procedendo come detto da Cichia si sostituiscono le coordinate dei tre punti (per i quali passa una ed una sola circonferenza) nella generica equazione

x^2+y^2+\alpha x+\beta y +\gamma=0

I punti si determinano facilmente: (2,5) ce l'abbiamo già, gli altri due sono (4,0),(-2,0) e quindi sostituendoli rispettivamente nell'equazione generica troviamo

4+25+2\alpha+5\beta+\gamma=0

16+4\alpha+\gamma=0

4-2\alpha+\gamma=0

dalle ultime due equazioni possiamo ricavarci comodamente i valori di \alpha,\gamma. Dalla terza in particolare ricaviamo

\gamma=-4+2\alpha

che sostituiamo nella seconda

16+4\alpha-4+2\alpha=0

da cui si ricava \alpha=-2 e quindi risostituendolo nella terza equazione troviamo \gamma=-8. Non ci resta che mettere tutto nella prima equazione per trovare \beta=-\frac{17}{5}.

Ora applicando le suddette formule troviamo centro

C=\left(1,\frac{17}{10}\right)

e raggio

r=\sqrt{1+\frac{289}{100}+8}=\sqrt{\frac{1189}{100}}

Per l'equazione della circonferenza, naturalmente, basterà sostituire i valori di \alpha, \beta,\gamma nell'equazione iniziale! emt
Ringraziano: Pi Greco, 000Claudy000

Determinare l'equazione di una circonferenza passante per tre punti #5893

avt
000Claudy000
Punto
Grazie mille a tutti e due! :DD

Re: Determinare l'equazione di una circonferenza passante per tre punti #16118

avt
Danni
Sfera
Ciao Claudy emt
Il sistema in questo caso è abbastanza semplice e ti consente di determinare velocemente l'equazione della circonfereza. Vi sono però casi in cui il sistema si rivela più complesso e puoi risolvere in un altro modo.

Ad un triangolo si può sempre circoscrivere una circonferenza che ha come centro il circocentro del triangolo (circocentro: punto di intersezione degli assi dei lati del triangolo)
A noi basta quindi determinare le equazioni degli assi di due lati ed intersecarle. In tal modo calcoliamo le coordinate del centro Q della circonferenza.
Equazione dell'asse del lato AB
x = (xA + xB)/2 = (4 - 2)/2 = 1
x = 1

Equazione dell'asse del lato BC
(x - xB)² + (y - yB)² = (x - xC)² + (y - yC)²
(x + 2)² + y² = (x - 2)² + (y - 5)²
4x + 4 = - 4x + 4 - 10y + 25
8x + 10y = 25

Ora impostiamo un sistema con le equazioni dei due assi
{x = 1
{8x + 10y = 25
ed otteniamo facilmente le coordinate del centro Q
Q(1;17/10)

Calcoliamo la misura quadrata del raggio:
r² = QA² = (9 + 289/100) = 1189/100

Considerando la circonferenza come luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dal centro, la sua equazione è
(x - xC)² + (y - yC)² = r²
(x - 1)² + (y - 17/10)² = 1189/100
x² + y² - 2x - 17y/5 + 1 + 289/100 - 1189/100 = 0
x² + y² - 2x - 17y/5 - 8 = 0
in forma canonica.
Oppure, moltiplicando i coefficienti per 5:
5x² + 5y² - 10x - 17y - 40 = 0

Può sembrare un metodo arduo quando in realtà è assai facile e puoi tenerlo presente in caso di sistemino antipatico emt

Ciao*
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os