Problema di Geometria Analitica su rette e area triangolo

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Problema di Geometria Analitica su rette e area triangolo #5795

avt
Antonella
Punto
In un problema di Geometria Analitica mi viene chiesto di calcolare l'area di un triangolo i cui vertici sono i punti di intersezione di rette date. Purtroppo non riesco a capire la traccia ecco perché ho bisogno del vostro aiuto.

Si consideri la retta passante per i punti A(0,5)\ \mbox{e} \ B(-2,-3). Determinare su tale retta il punto C la cui ascissa è tripla dell'ordinata.

Si considerino inoltre la retta parallela all'asse x passante per A e la retta parallela all'asse y e passante per B. Determinare il punto D, intersezione di queste rette e calcolare l'area del triangolo DAC.

Grazie.
 
 

Problema di Geometria Analitica su rette e area triangolo #5870

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere il problema occorre innanzitutto determinare l'equazione della retta r_{AB} passante per i punti A(0,5)\ \mbox{e} \ B(-2,-3).

Come si fa? Semplice, basta usare la formula per l'equazione della retta passante per due punti:

r_{AB} \ : \ \frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_{A}}{x_{B}-x_{A}}

dove:

\bullet \ \ \ x_{A}=0\ \mbox{e} \ y_{A}=5 sono rispettivamente l'ascissa e l'ordinata del punto A;

\bullet \ \ \ x_{B}=-2\ \mbox{e} \ y_{B}=-3 sono, invece, l'ascissa e l'ordinata del punto B.

Se rimpiazziamo i valori, scopriamo che l'equazione della retta passante per i punti A\ \mbox{e}\ B

r_{AB} \ : \ \frac{y-5}{-3-5}=\frac{x-0}{-2-0} \ \ \ \to \ \ \ \frac{y-5}{-8}=-\frac{x}{2}

da cui, portando i membri a denominatore comune e semplificando il semplificabile otteniamo:

r_{AB} \ : \ y=4x+5

Il prossimo passo prevede di calcolare le coordinate del punto C(x_{C},y_{C}) sapendo che:

- l'ascissa x_C è tre volte l'ordinata y_{C}, per cui C(3y_C,y_C);

- il punto C appartiene alla retta r_{AB}, pertanto le coordinate di C soddisfano l'equazione di r_{AB}, vale a dire:

C\in r_{AB} \ \iff \ y_{C}=4(3y_{C})+5

La soluzione dell'equazione altri non è che l'ordinata di C:

\\ y_{C}=12 y_{C}+5 \\ \\ -11y_{C}=5 \\ \\ y_{C}=-\frac{5}{11}

Nota l'ordinata di C possiamo calcolare l'ascissa moltiplicando per 3

x_{C}=3y_{C} \ \ \ \to \ \ \ x_{C}=3\left(-\frac{5}{11}\right)=-\frac{15}{11}

In definitiva, le coordinate di C sono:

C\left(-\frac{15}{11},-\frac{5}{11}\right)

Determiniamo l'equazione della retta parallela all'asse x e passante per A: essa è semplicemente

s \ : \ y=y_{A} \ \ \ \to \ \ \ y=5

L'equazione della retta parallela all'asse delle y e passante per B è invece:

t \ : \ x=x_{B} \ \ \ \to \ \ \ x=-2

Indichiamo con D il punto di intersezione tra le rette s\ \mbox{e}\ t: esso ha coordinate D(-2,5).

Consideriamo il triangolo di vertici D,A\ \mbox{e} \ C. Il nostro obiettivo diventa quello di calcolarne la sua area, scegliendo come base il lato AD e come altezza il segmento CH dove H ha coordinate x_{H}=-\frac{11}{5}\ \mbox{e} \ y_{H}=5

Calcoliamo la lunghezza della base usando la formula per la distanza tra due punti allineati orizzontalmente

AD=|x_{A}-x_{D}|=|0-(-2)|=2

Per calcolare la misura dell'altezza è sufficiente usare la formula della distanza tra punti allineati verticalmente

CH=|y_{C}-y_{H}|=\left|-\frac{5}{11}-5\right|=\frac{60}{11}

Con i valori ottenuti, siamo in grado di calcolare l'area del triangolo con la formula

\mbox{Area}=\frac{AD\cdot CH}{2}=\frac{2\cdot\frac{60}{11}}{2}=\frac{60}{11}

Abbiamo finito!
Ringraziano: Pi Greco
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Os