Problema circonferenza che stacca una corda sull'asse x

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Problema circonferenza che stacca una corda sull'asse x #57098

avt
GioMaz
Punto
Salve a tutti! Io mi sono appena iscritta in questo forum e spero possiate aiutarmi., dovrei risolvere un problema con una circonferenza che stacca una certa corda sull'asse delle ascisse.

Ho una circonferenza di raggio=5, con il centro che si trova sulla bisettrice del I e del III quadrante e con ascissa positiva. So che stacca una corda sull'asse x di lunghezza 8.
Come faccio a trovare l'equazione della circonferenza?

Grazie in anticipo.
 
 

Re: Problema circonferenza che stacca una corda sull'asse x #57119

avt
Galois
Amministratore
Ciao GioMaz emt

Conosciamo già il raggio della circonferenza (leggimi!). Per determinarne l'equazione dobbiamo trovarne il centro. Lo troveremo utilizzando le due condizioni date dal problema, ovvero:

1) Il centro si trova sulla bisettrice del primo e terzo quadrante ed ha ascissa positiva

2) la circonferenza stacca sull'asse delle x una corda lunga 8

Detto C(x_0, \ y_0) il centro della nostra circonferenza, poiché deve appartenere alla bisettrice del primo e terzo quadrante, ne deve soddisfare l'equazione che è:

x=y

Andando a sostituire si ha: x_0=y_0, pertanto il nostro centro avrà coordinate:

C(x_0, \ x_0)

Ora, noto centro e raggio, possiamo scrivere l'equazione generica della circonferenza (vedi primo link):

(x-x_0)^2 + (y-x_0)^2 = 25

Troviamo ora i suoi punti di intersezione con l'asse delle x poiché sappiamo che la circonferenza stacca proprio sull'asse delle x una corda lunga 8. Per farlo basta risolvere il sistema:

\begin{cases} (x-x_0)^2 + (y-x_0)^2 = 25 \\ y=0 \end{cases}

da cui, dopo aver fatto due conticini:

x^2 - 2x_0 x + 2 x_0^2 - 25 =0

che è un'equazione di secondo grado con

a=1, \ b=-2x_0, \ c= 2x_0^2-25

Applicando la formula risolutiva che trovi al precedente link troverai le soluzioni:

x_0 \pm \sqrt{25-x_0^2}

E quindi i punti di intersezione della circonferenza con l'asse x sono:

A\left(x_0-\sqrt{25-x_0^2}, \ 0\right); \ \ B\left(x_0 + \sqrt{25-x_0^2}, \ 0\right)

[Osserva che affinchè il tutto abbia significato deve essere x_0 \leq 5]


Fatto questo non rimane altro se non trovare la distanza tra questi due punti. Essendo allineati (stanno entrambi sull'asse x) possiamo utilizzare la formula ridotta, da cui:

dist(A,B) = \left| x_0-\sqrt{25-x_0^2} - x_0-\sqrt{25-x_0^2}\right|=..conti.. = 2 \sqrt{25-x_0^2}

Ponendo che tale distanza sia pari ad 8 si ha:

2 \sqrt{25-x_0^2}=8 \iff x_0 = \pm 3

Poiché l'ascissa del centro è, per ipotesi, positiva: x_0=3.

Le coordinate del centro sono quindi C(3,3) e l'equazione della nostra circonferenza sarà:

(x-3)^2+(y-3)^2=25

emt

[Mod]Le linee guida del Forum prevedono che ciascun utente esponga anche il suo ragionamento, giusto o sbagliato che sia.. Essendo il tuo primo messaggio abbiamo deciso di sorvolare, ma dalla prossima volta non sarà così emt [/Mod]
Ringraziano: Ifrit, CarFaby, GioMaz
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Os