Individuare in un fascio di rette una retta tale che...

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Individuare in un fascio di rette una retta tale che... #55845

avt
giupar93
Punto
Buon pomeriggio ragazzi, ho un grosso dubbio con i fasci di rette e sulla scelta dei parametri per individuare una retta del fascio dall'equazione. Scusate la domanda banale ma sinceramente non ho la minima idea di come usufruirne, vi faccio un esempio.

Ho le rette:

r: 2x+3y+3 = 0

s: 3x-y-1 = 0

mi sono trovato l'equazione del fascio che è la seguente:

F: lambda(x+3y+3) + miu(3x-y-1)

premesso che l'equazione sia corretta (lascio a voi la correzione) se per esempio dovessi trovare la retta n del fascio perpendicolare alla retta di equazione 3x¡4y +3 = 0, come posso usare l'equazione del fascio?

Ringrazio anticipatamente spero di chiarirmi le idee. Buona giornata
 
 

Individuare in un fascio di rette una retta tale che... #55868

avt
Omega
Amministratore
Ciao Giupar93, occhio che quella che hai scritto

F: lambda(x+3y+3) + miu(3x-y-1)


non è un'equazione (manca il simbolo di uguale e il secondo membro). Mancherebbe inoltre un coefficiente 2 per il termine in x della prima retta. emt

A parte ciò, perché scrivi l'equazione con due parametri liberi anziché uno solo? Riscriviamo le equazioni delle due rette in forma esplicita

y=-\frac{2}{3}x-1

y=3x-1

da cui si vede che le due rette non sono parallele. Esse genereranno quindi un fascio di rette proprio.

Scriviamone l'equazione partendo dalla forma implicita delle due rette

2x+3y+3=0\ ;\ 3x-y-1=0\ \Rightarrow\ 2x+3y+3+k(3x-y-1)=0

ho scelto come retta esclusa dal fascio la generatrice 2x+3y+3=0 (la si ricava per k\to+\infty).

Purtroppo è presente un typo nell'equazione della retta che hai scritto in

La retta n del fascio perpendicolare alla retta di equazione 3x¡4y +3 = 0


(meglio non fare copia-incolla da pdf e affini...), a titolo illustrativo supporrò che si tratti della retta

t:\ 3x-4y +3 = 0

dato che cerchiamo la retta del fascio ad essa perpendicolare, ragioniamo sui coefficienti angolari. Calcoliamo il coefficiente angolare di t prendendone la forma esplicita

t:\ 3x-4y +3 = 0\ \to\ y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}

Per la condizione di perpendicolarità tra due rette, dobbiamo cercare una retta del fascio F avente coefficiente angolare che è il reciproco dell'opposto del coefficiente angolare di t. In parole povere dovrà valere

m_{retta\ cercata}=-\frac{1}{m_t}

cioè

m_{retta\ cercata}=-\frac{1}{\frac{3}{4}}=-\frac{4}{3}

Non resta che sviluppare i prodotti nell'equazione del fascio di rette, dedurne la forma esplicita e ricavare la generica espressione del coefficiente angolare

2x+3y+3+k(3x-y-1)=0

diventa

2x+3y+3+3kx-ky-k=0

da cui

(2+3k)x+(3-k)y+(3-k)=0

e in forma esplicita (supponendo k\neq 3, che darebbe una retta verticale)

y=\frac{2+3k}{k-3}x+\frac{3-k}{k-3}

Per trovare la retta richiesta ci basta imporre

\frac{2+3k}{k-3}=-\frac{4}{3}

Quest'ultima è un'equazione fratta di primo grado che ammette soluzione k=\frac{6}{13}.

La corrispondente retta del fascio si trova sostituendo la soluzione nell'equazione del fascio, in luogo di k. Si trova

y=-\frac{4}{3}x-1
Ringraziano: Pi Greco, Galois, giupar93

Individuare in un fascio di rette una retta tale che... #55881

avt
giupar93
Punto
Ciao Omega, innanzitutto scusami per gli errori di typo e quei due errori di distrazione xD non ci avevo fatto caso. Secondariamente ti ringrazio per la risposta totalmente esauriente per quanto riguarda il problema da me sottoposto..Sei stati chiarissimo, ma ho un dubbio:

ho scelto come retta esclusa dal fascio la generatrice 2x+3y+3=0

perché? C'è un motivo di fondo o hai scelto a caso?


P.S [OFFTOPIC] Come mai non c'è il tasto anteprima quando si inviano i messaggi, utilissimo quando si scrivono le formule sopratutto per new entry come me ? xD [\OFFTOPIC]

Individuare in un fascio di rette una retta tale che... #56029

avt
Omega
Amministratore
Di niente, figurati emt

In esercizi del genere puoi prendere l'una o l'altra retta, basta tenere presente qual è la richiesta dell'esercizio

se per esempio dovessi trovare: la retta n del fascio perpendicolare alla retta di equazione 3x-4y +3 = 0


In questo caso, vedendo che 3x-y-1 = 0 non è perpendicolare alla retta considerata, ho deciso di usarla per scrivere l'equazione del fascio con retta esclusa.

La scelta sarebbe stata rilevante se avessimo avuto una generatrice perpendicolare alla retta considerata e se avessimo escluso quella generatrice. Così facendo avremmo erroneamente concluso che non esisteva una retta del fascio perpendicolare a quella data. emt


[Off Topic] Purtroppo non dipende da noi, ma da Codecogs :'( [Off topic]
Ringraziano: Pi Greco, Galois, giupar93
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Os