Luogo geometrico dei vertici dei triangoli isosceli

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Luogo geometrico dei vertici dei triangoli isosceli #55514

avt
Fakez
Punto
Posso chiedervi una mano per individuare il luogo geometrico dei vertici in questo esercizio?

Considera gli infiniti triangoli isosceli OBC di base OB, tutti di perimetro di misure 2p, contenuti nel 1° quadrante, essendo O l'origine degli assi e B un punto del semiasse positivo delle x.
Qual'è il luogo dei vertici C di tali triangoli?


Dunque, ho iniziato ponendo come ascissa di B il parametro t, quindi B avrà coordinate (t;0), ed ho dato generiche coordinate (x;y) al punto C.
Sono riuscito a capire che i vertici C si trovano per forza nell'arco di parabola che passa per i tre vertici del triangolo e che si trova nel 1° quadrante, ed ho provato a ricavarne l'equazione.
Ciò che ne è venuto fuori è stato y=(b/t)x^2+y/1+tx ma, come previsto, non mi trovo con il risultato, anche perché non ho utilizzato il perimetro visto che non so cosa farmene.
Quindi mi appello a voi, popolo di YouMath, colmate le mie lacune ve ne prego..
 
 

Luogo geometrico dei vertici dei triangoli isosceli #55521

avt
Omega
Amministratore
Ciao Fakez, facciamo una breve sintesi delle ipotesi:

- primo quadrante;
- OBC deve essere un triangolo isoscele con OC=CB;
- O=(0,0)
- B=(x_B,0)
- tutti i triangoli devono avere lo stesso perimetro 2p.

Dovremo scrivere un'equazione con due incognite, le coordinate del generico vertice C. Chiamiamone x l'ascissa e y l'ordinata, per cui C=(x,y).

Per arrivare all'equazione del luogo geometrico dei punti ci basta riscrivere le ipotesi in forma analitica, possibilmente nel modo più comodo possibile. emt

Condizione sui lati obliqui: usiamo la formula per la distanza tra due punti

\overline{OC}=\overline{CB}

diventa

\sqrt{(x_C-x_O)^2+(y_C-y_O)^2}=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}

sostituiamo i valori delle coordinate (nel caso di C,B i generici valori)

\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\sqrt{(x-x_B)^2+(y-0)^2}

ed eleviamo entrambi i membri al quadrato

x^2+y^2=x^2-2x_Bx+x_B^2+y^2

ossia

-2x_Bx+x_B^2=0 \bullet\bullet\bullet

In questo contesto dobbiamo trattare x,y,x_B come variabili.

Condizione sul perimetro: scriviamo la formula per il perimetro del triangolo isoscele

2p=\overline{OB}+2\overline{OC}

ossia

2p=x_B+2\sqrt{x^2+y^2}

Il punto delicato: per noi la misura del perimetro è un parametro, cioè una costante che non conosciamo ma che dobbiamo trattare comunque come una costante. Magari chiamiamola k, così è più chiaro: k=2p.
La precedente relazione ci permette di esprimere l'ascissa del punto B in termini di x,y (e del parametro, che però è una costante, dunque va tutto bene)

x_B=k-2\sqrt{x^2+y^2}

Sostituiamo tale espressione in \bullet\bullet\bullet

-2x(k-2\sqrt{x^2+y^2})+(k-2\sqrt{x^2+y^2})^2=0

Non ti resta che rimaneggiare la precedente equazione algebricamente e scriverla in una forma più compatta. emt
Ringraziano: Pi Greco
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Os