Luogo geometrico dei punti medi delle corde

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Luogo geometrico dei punti medi delle corde #55467

avt
Fakez
Punto
Premetto che ho molte difficoltà in geometria,da sempre, e la mia prof non mi aiuta molto, quindi mi rivolgo a voi, oh popolo di YouMath. Per favore spiegatemi come si risolve questo problema, e, se avete metodi per risolvere problemi di questo tipo in maniera più facile non esitate a dirmeli. Grazie di tutto ^^

Dati la parabola di equazione y =1/2 x^2 + 3 e il fascio di rette parallele alla bisettrice del 1° e del 3° quadrante, determina il luogo geometrico dei punti medi delle corde intercettate dalla parabola sulle rette del fascio.

La bisettrice so che ha equazione y=x e che il suo coefficiente angolare m è uguale a 2, sapendo che la parallela è una retta con lo stesso coefficiente angolare e che l'equazione in forma implicita di una retta è y=mx+q la sua equazione dovrebbe essere y=x+q

(se non ho detto vongole xD)

So anche come si calcola il punto medio ma evito di scriverlo visto che chi mi aiuterà lo saprà sicuramente.

Che dire, spero di capire e di riuscire a fare problemi del genere da solo in futuro ^^

PS=se ho altri esercizi di questo tipo posso metterli in questa discussione?
 
 

Luogo geometrico dei punti medi delle corde #55475

avt
Galois
Coamministratore
Ciao Fakez emt

Gli "ingredienti" del nostro problema sono:

la parabola di equazione:

y=\frac{1}{2}x^2 + 3

e le rette parallele alla bisettrice del I e del III quadrante di equazione:

y=x

Prima di procedere allo svolgimento del problema ti faccio notare un tuo errore.

La bisettrice so che ha equazione y=x e che il suo coefficiente angolare m è uguale a 2


Attenzione! Il coefficiente angolare di tale bisettrice è pari ad 1.
Da quello che dici dopo, penso però sia un errore di battitura emt

sapendo che la parallela è una retta con lo stesso coefficiente angolare e che l'equazione in forma implicita di una retta è y=mx+q la sua equazione dovrebbe essere y=x+q


Ti sei espresso un po' male, ma il concetto è quello. Il fascio di rette parallele alla bisettrice del primo e terzo quadrante è proprio:

y=x+q con q \in \mathbb{R}

Chiarito ciò passiamo al nocciolo della questione. Dobbiamo determinare il luogo geometrico dei punti medi delle corde intercettate dalla parabola sulle rette del fascio.

Iniziamo quindi col determinare i punti di intersezione fra la parabola

y=\frac{1}{2}x^2 + 3

ed il fascio di rette y=x+q con q \in \mathbb{R}

Per far ciò dobbiamo risolvere il sistema:

\left\{ \begin{matrix} y=\frac{1}{2}x^2 + 3 \\ y=x+q \end{matrix}

Procedendo col metodo di sostituzione (sostituendo il valore della y della seconda equazione nella prima) avremo:

x+q=\frac{1}{2}x^2+3 da cui:

\frac{1}{2}x^2 - x + (3-q) = 0

Siamo di fronte ad un'equazione di secondo grado con:

a=\frac{1}{2}, \ b=-1, \ c=3-q

Applicando la formula risolutiva (lascio a te i semplici conti) troviamo le due soluzioni:

x_1=1-\sqrt{-5+2q}

x_2=1+\sqrt{-5+2q}

Attenzione! Apro una parentesi non necessaria ai fini dell'esercizio ma quanto mai importante:

all'inizio, giustamente, avevamo detto che q poteva variare in \mathbb{R}. Arrivati a questo punto non più! Trovandoci infatti di fronte ad una radice dobbiamo imporre che il radicando sia maggiore di zero, e quindi q \geq \frac{5}{2}

ovvero le rette del fascio y=x+q intersecano la parabola a patto che q \geq \frac{5}{2}

Chiudo la parentesi emt

Finiamo di risolvere il sistema andando a sostituire i due valori trovati nella seconda equazione del sistema, ovvero in: y=x+q, trovando:

y_1=x_1+q=1-\sqrt{-5+2q}+q

y_2=x_2+q=1+\sqrt{-5+2q}+q

Pertanto i punti di intersezione saranno:

A\left(1-\sqrt{-5+2q}, \ 1-\sqrt{-5+2q}+q\right)

B\left(1+\sqrt{-5+2q}, \ 1+\sqrt{-5+2q}+q\right)

al variare di q \geq \frac{5}{2}

Troviamone ora il punto medio M

x_M=\frac{\left(1-\sqrt{-5+2q} \right)+ \left(1+\sqrt{-5+2q}\right)}{2}=\frac{2}{2}=1

y_M=\frac{\left(1-\sqrt{-5+2q}+q\right) + \left(1+\sqrt{-5+2q}+q\right)}{2}=\frac{2+2q}{2}=q+1

Ovvero il punto medio ha coordinate M(1, \ q+1)

Che significa? Che comunque varia q tutti i punti medi avranno ascissa pari ad 1, pertanto il luogo geometrico cercato è la retta x=1


emt


Se hai altri esercizi da proporre (anche se simili) apri una nuova discussione. Una discussione = un esercizio. La prossima volta, però, sforzati di dare un tentativo di risoluzione emt
Ringraziano: Omega
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Os