Intersezioni tra parabola e retta

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Intersezioni tra parabola e retta #55069

avt
ladysabri
Punto
Mi servirebbe il vostro aiuto per calcolare i punti di intersezione tra una parabola e una retta, di cui conosco le equazioni. In teoria dovrei impostare il sistema e risolvere la risolvente associata, giusto?

Determinare i punti di intersezione tra la retta r di equazione

r:\ y=-2x+6

e la parabola descritta da

\mathrm{P}:\ y=-2x^2+2x+4

Grazie.
 
 

Intersezioni tra parabola e retta #55070

avt
Omega
Amministratore
Per ricavare gli eventuali punti di intersezione tra la retta di equazione

r:\ y=-2x+6

e la parabola \mathrm{P} di equazione

\mathrm{P}:\ y=-2x^2+2x+4

occorre impostare il sistema composto dalle due equazioni

r\cap\mathrm{P}:\ \begin{cases}y=-2x+6\\ y=-2x^2+2x+4\end{cases}

e procedere con il metodo di sostituzione: rimpiazziamo y=-2x+6 nella seconda relazione!

\begin{cases}y=-2x+6\\ -2x+6=-2x^2+2x+4\end{cases}

Concentriamoci un momento sulla seconda equazione: essa dipende esclusivamente dall'incognita x e prende il nome di risolvente associata al sistema

-2x+6=-2x^2+2x+4

Trasportiamo tutti i termini al primo membro

2x^2-2x-2x+6-4=0

e sommiamo i monomi simili

2x^2-4x+2=0

Mettiamo in evidenza il fattore comune 2

2(x^2-2x+1)=0

e dividiamo i due membri per fattore evidenziato: otteniamo così l'equazione di secondo grado

x^2-2x+1=0

Osserviamo che x^2-2x+1 è lo sviluppo del quadrato di binomio (x-1)^2, per cui l'equazione si semplifica ulteriormente in

(x-1)^2=0

Poiché un quadrato è zero se e solo se è zero la sua base, scriviamo la seguente equazione

x-1=0 \ \ \ \to \ \ \ x=1

In definitiva l'equazione risolvente è soddisfatta esclusivamente per x=1, perciò il sistema

\begin{cases}y=-2x+6\\ -2x+6=-2x^2+2x+4\end{cases}

è equivalente al seguente

\begin{cases}y=-2x+6\\ x=1\end{cases}

Per determinare y basta rimpiazzare x=1 nella prima equazione e svolgere i calcoli

\begin{cases}y=-2\cdot 1+6\\ x=1\end{cases} \ \ \ \to\ \ \ \begin{cases}y=4\\ x=1\end{cases}

I valori x=1,\, y=4 costituiscono le coordinate del punto di intersezione T tra la retta r e la parabola \mathrm{P}

T(x,y)=(1,4)


Osservazione

Abbiamo scoperto che r\ \mbox{e} \ \mathrm{P} si intersecano in un solo punto, e questo basta per stabilire la posizione reciproca tra la retta e la parabola: la retta è tangente alla parabola e il punto di tangenza ha coordinate T(1,4).
Ringraziano: Galois
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Os