Consigli per esercizio su cerchio circoscritto e inscritto in un quadrilatero

Salve Ragazzi, ho un problema con un esercizio molto ostico di geometria analitica, spero possiate aiutarmi. Non saprei dove sbattere la testa

Il testo recita: sono dati i seguenti punti A(-6;1) B(2;1).

a) Determinare un punto C dell'asse Y tale che l'area del triangolo ABC misuri 16.

b) Dopo aver constatato che il quesito a) ha due soluzioni C1 e C2, verifica che il quadrilatero AC1BC2 è circoscrivibile ad una circonferenza; determina il raggio r di tale circonferenza.

c) Determina un punto P dell'asse Y in modo che l'angolo APB sia retto.

d) Dopo aver constatato che il quesito c) ha due soluzioni P1 e P2 verifica che il quadrilatero AP1BP2 è inscrivibile in una circonferenza. Determinare il Centro E e il raggio R di tale circonferenza.

Ho risolto il punto a), verificato con Pitagora che il primo quadrilatero è circoscrivibile ad una circonferenza, ma poi mi sono letteralmente bloccato nel determinare il raggio della circonferenza!
Spero possiate aiutarmi, grazie in anticipo!

Ciao peppesb

Una volta verificato che il quadrilatero AC1BC2 è circoscrivibile ad una circonferenza puoi determinare il raggio tramite la formula:



è la formula inversa derivante da quella per l'area dei poligoni circoscritti a una circonferenza.

Per risolvere il punto C) procedi così:

1. P ha coordinate perché vive sull'asse Y.

2. Calcola la distanza tra i punti AP e BP. Affinché l'angolo in P sia retto dobbiamo imporre che

(deriva dal teorema di Pitagora )

dove è il quadrato della distanza tra i punti A e B.

Nota che sarà un'equazione di secondo grado in y. Otterrai due soluzioni e quindi due coordinate di punti.

Considera ora il quadrilatero AP1BP2, esso ovviamente è inscrivibile in una circonferenza perché gli angoli in P1 e P2 misurano 90 gradi, quindi sono supplementari, e inoltre ricordando che la somma degli angoli interni di un quadrilatero è:



si ha che

anche gli angoli opposti e sono supplementari. Viene soddisfatta la condizione di inscrivibilità.

Osserva che il triangolo è inscritto in una semicirconferenza, quindi il centro E vive sul segmento AB, il centro della circonferenza non è altro che il suo punto medio.

Il raggio è ovviamente dato dalla distanza tra i punti A e E: che puoi determinare con la formula: