Consigli per esercizio su cerchio circoscritto e inscritto in un quadrilatero

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Consigli per esercizio su cerchio circoscritto e inscritto in un quadrilatero #54365

avt
peppesb
Punto
Salve Ragazzi, ho un problema con un esercizio molto ostico di geometria analitica, spero possiate aiutarmi. Non saprei dove sbattere la testa emt

Il testo recita: sono dati i seguenti punti A(-6;1) B(2;1).

a) Determinare un punto C dell'asse Y tale che l'area del triangolo ABC misuri 16.

b) Dopo aver constatato che il quesito a) ha due soluzioni C1 e C2, verifica che il quadrilatero AC1BC2 è circoscrivibile ad una circonferenza; determina il raggio r di tale circonferenza.

c) Determina un punto P dell'asse Y in modo che l'angolo APB sia retto.

d) Dopo aver constatato che il quesito c) ha due soluzioni P1 e P2 verifica che il quadrilatero AP1BP2 è inscrivibile in una circonferenza. Determinare il Centro E e il raggio R di tale circonferenza.

Ho risolto il punto a), verificato con Pitagora che il primo quadrilatero è circoscrivibile ad una circonferenza, ma poi mi sono letteralmente bloccato nel determinare il raggio della circonferenza!
Spero possiate aiutarmi, grazie in anticipo!
 
 

Consigli per esercizio su cerchio circoscritto e inscritto in un quadrilatero #54381

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao peppesb emt

Una volta verificato che il quadrilatero AC1BC2 è circoscrivibile ad una circonferenza puoi determinare il raggio tramite la formula:

r=\frac{2\mbox{Area_{AC1B C2}}}{\mbox{Perimetro_{AC1BC2}}}

è la formula inversa derivante da quella per l'area dei poligoni circoscritti a una circonferenza.

Per risolvere il punto C) procedi così:

1. P ha coordinate P(0,y) perché vive sull'asse Y.

2. Calcola la distanza tra i punti AP e BP. Affinché l'angolo in P sia retto dobbiamo imporre che

AP^2+ BP^2= AB^2 (deriva dal teorema di Pitagora emt )

dove AB^2 è il quadrato della distanza tra i punti A e B.

Nota che AP^2+ BP^2= AB^2 sarà un'equazione di secondo grado in y. Otterrai due soluzioni e quindi due coordinate di punti.

Considera ora il quadrilatero AP1BP2, esso ovviamente è inscrivibile in una circonferenza perché gli angoli in P1 e P2 misurano 90 gradi, quindi sono supplementari, e inoltre ricordando che la somma degli angoli interni di un quadrilatero è:

\hat{A}+ \hat{P1}+ \hat{B}+ \hat{P2}= 360^o

si ha che \hat{A}+ \hat{B}= 360^o - \hat{P1}- \hat{P2}= 180^o

anche gli angoli opposti \hat{A} e \hat{B} sono supplementari. Viene soddisfatta la condizione di inscrivibilità.

Osserva che il triangolo ABP1 è inscritto in una semicirconferenza, quindi il centro E vive sul segmento AB, il centro della circonferenza non è altro che il suo punto medio.

Il raggio è ovviamente dato dalla distanza tra i punti A e E: che puoi determinare con la formula:

r= \frac{AB}{2}


emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, Manuel1990
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Os