Equazione di una retta in un problema sulla circonferenza

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Equazione di una retta in un problema sulla circonferenza #53399

avt
kakashi
Punto
Ciao c'è un punto in un problema sulla circonferenza in cui devo determinare l'equazione di una particolare retta, ho difficoltà nel risolverlo. Dati i punti A(3;3) e B(1:-1) determina:

a) l'equazione della circonferenza γ passante per A e B e con il centro sulla retta di equazione y = 2x - 3 [x^2+y^2-4x-2y=0]

b) l'equazione della retta tangente a γ in A; [x+2y-9=0]

c) l'equazione della circonferenza tangente in A a γ che ha centro sulla rettta di equazione 4x + y - 18 = 0; [x^2+y^2-7x-8y+27=0]

d) l'equazione della retta PQ, essendo P e Q i vertici del triangolo equilatero APQ inscritto in γ [4y+2x-3]

A me serve solamente il punto d, gli altri sono riusciti a farli. Il punto d il mio prof ha chiesto di farli con 2 metodi: uno con Talete e l'altro a piacere (ad esempio che l'altezza sia l/2sqrt(2)) io però non ho proprio capito come si fa...se potete aiutarmi (possibilmente con i calcoli). GRAZIE.
 
 

Equazione di una retta in un problema sulla circonferenza #53431

avt
Galois
Amministratore
Ciao Kakashi emt

L'equazione della circonferenza \gamma è: x^2+y^2-4x-2y=0, conosciamo le coordinate del punto A(3,3) e dobbiamo trovare l'equazione della retta PQ, dove P e Q sono i vertici del triangolo equilatero inscritto in \gamma.

Iniziamo col trovare (ci sarà utile in seguito).

Centro della circonferenza: C(2,1)

Raggio della circonferenza: r=\sqrt{5}

E ricordiamo che in un triangolo equilatero iscritto in una circonferenza (vedi link precedente)

Lato: L=r\sqrt{3}=\sqrt{15}

Altezza: h=\frac{\sqrt{3}}{2}L=\frac{\sqrt{45}}{2}

Inoltre, essendo il triangolo equilatero, i suoi punti notevoli coincidono fra loro e col centro della circonferenza e la proprietà che ci servirà è che il baricentro divide la mediana (e quindi l'altezza) in due segmenti che a partire dal vertice sono uno il doppio dell'altro.


Siamo ora pronti per affrontare il problema emt

L'altezza relativa a PQ passa per A(3,3) e per C(2,1), possiamo quindi trovarne direttamente il coefficiente angolare m_{AC}=2

Ne segue che la retta PQ avrà pendenza pari a m_{PQ}=\frac{1}{2}, in quanto perpendicolare all'altezza ad essa relativa.

Ovvero per il momento possiamo dire che la retta PQ ha equazione:

r_{PQ}: \ x+2y+q=0

Rimane da trovare q. Per quanto prima ricordato [il centro C della circonferenza coincide col baricentro e il baricentro divide la mediana (e quindi l'altezza) in due segmenti che a partire dal vertice sono uno il doppio dell'altro], imponiamo ora che la distanza della retta r_{PQ} dal punto C(2,1) sia pari ad un terzo dell'altezza, ovvero sia pari a \frac{1}{3} \frac{\sqrt{45}}{2}=\frac{\sqrt{45}}{6}=\sqrt{\frac{45}{36}}. Per far ciò utilizziamo la formula della distanza punto-retta, ovvero dovrà valere:

\frac{|2+2+q|}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{45}{36}}

da cui si ottiene:

q=-\frac{3}{2}

q=-\frac{13}{2}

Hai quindi due rette:

 x+2y-\frac{3}{2}=0

 x+2y-\frac{13}{2}=0

di cui la seconda non è accettabile in quanto non sta dalla parte opposta di A rispetto a C.

Pertanto

r_{PQ}: \  x+2y-\frac{3}{2}=0
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, kakashi
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Os