Equazione di una retta in un problema sulla circonferenza

Ciao c'è un punto in un problema sulla circonferenza in cui devo determinare l'equazione di una particolare retta, ho difficoltà nel risolverlo. Dati i punti A(3;3) e B(1:-1) determina:

a) l'equazione della circonferenza γ passante per A e B e con il centro sulla retta di equazione y = 2x - 3 [x^2+y^2-4x-2y=0]

b) l'equazione della retta tangente a γ in A; [x+2y-9=0]

c) l'equazione della circonferenza tangente in A a γ che ha centro sulla rettta di equazione 4x + y - 18 = 0; [x^2+y^2-7x-8y+27=0]

d) l'equazione della retta PQ, essendo P e Q i vertici del triangolo equilatero APQ inscritto in γ [4y+2x-3]

A me serve solamente il punto d, gli altri sono riusciti a farli. Il punto d il mio prof ha chiesto di farli con 2 metodi: uno con Talete e l'altro a piacere (ad esempio che l'altezza sia l/2sqrt(2)) io però non ho proprio capito come si fa...se potete aiutarmi (possibilmente con i calcoli). GRAZIE.

Ciao Kakashi

L'equazione della circonferenza è: , conosciamo le coordinate del punto e dobbiamo trovare l'equazione della retta , dove P e Q sono i vertici del triangolo equilatero inscritto in .

Iniziamo col trovare (ci sarà utile in seguito).

Centro della circonferenza:

Raggio della circonferenza:

E ricordiamo che in un triangolo equilatero iscritto in una circonferenza (vedi link precedente)

Lato:

Altezza:

Inoltre, essendo il triangolo equilatero, i suoi punti notevoli coincidono fra loro e col centro della circonferenza e la proprietà che ci servirà è che il baricentro divide la mediana (e quindi l'altezza) in due segmenti che a partire dal vertice sono uno il doppio dell'altro.


Siamo ora pronti per affrontare il problema

L'altezza relativa a passa per e per , possiamo quindi trovarne direttamente il coefficiente angolare

Ne segue che la retta avrà pendenza pari a , in quanto perpendicolare all'altezza ad essa relativa.

Ovvero per il momento possiamo dire che la retta ha equazione:



Rimane da trovare . Per quanto prima ricordato [il centro C della circonferenza coincide col baricentro e il baricentro divide la mediana (e quindi l'altezza) in due segmenti che a partire dal vertice sono uno il doppio dell'altro], imponiamo ora che la distanza della retta dal punto sia pari ad un terzo dell'altezza, ovvero sia pari a . Per far ciò utilizziamo la formula della distanza punto-retta, ovvero dovrà valere:



da cui si ottiene:





Hai quindi due rette:





di cui la seconda non è accettabile in quanto non sta dalla parte opposta di A rispetto a C.

Pertanto