Problema su rette parallele che formano un trapezio isoscele

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Problema su rette parallele che formano un trapezio isoscele #53325

avt
Bringo
Punto
Ciao a tutti! Mi ritrovo questo problema di geometria analitica sulle rette parallele: condurre per i punti A(0;2) B(-1;0) le parallele alla bisettrice del primo e del terzo quadrante che incontrano rispettivamente in D e C la retta x-2y+7=0. Verificare che il quadrilatero ABCD è un trapezio isoscele e calcolare le coordinate del punto d'intersezione delle diagonali.

Non so proprio da dove cominciare! :/ non ho capito come fare a condurre per quei punti le parallele alla bisettrice del primo e del terzo quadrante... E poi la seconda parte come faccio a calcolare le coordinate del punto d'intersezione?

Support is needed please! emt
 
 

Problema su rette parallele che formano un trapezio isoscele #53336

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao bringo emt

Procediamo in questo modo:

1. Determiniamo "r", la retta parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante passante per il punto A(0,2).

La bisettrice del primo e del terzo quadrante ha equazione y=x e il suo coefficiente angolare è m= 1

La retta generica passante per il punto A(0,2) ha equazione:

r: y-2= m_r x

Imponiamo la condizione di parallelismo: i coefficienti angolari delle due rette devono coincidere.

m_r= m\iff m_r= 1

L'equazione della retta r è quindi.

r: y= x+2

2. Determiniamo "s", la retta parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante passante per il punto B(-1,0), seguendo il ragionamento visto prima.

L'equazione della retta s è:

s: y= m_s (x+1)

Imponiamo la condizione di parallelismo con la retta bisettrice del primo e del terzo, così da ottenere:

m_s= m\iff m_s= 1

L'equazione della retta s è:

s: y=x+1

3. Determiniamo le coordinate dei punti D e C.

In particolare D è dato dall'intersezione della retta r con la retta t: x-2 y+7=0. Impostiamo il sistema:

\begin{cases}x-2y+7=0\\ y= x+2\end{cases}

Risolvi il sistema per sostituzione così da ottenere le soluzioni:

x= 3, y=5 quindi D(3,5)

C è dato dall'intersezione della retta s con la retta t:x-2 y+7=0, impostiamo il sistema:

\begin{cases}x-2y+7=0\\ y=x+1 \end{cases}

Risolvendolo otterrai che C(5, 6).

Il poligono ABCD è certamente un trapezio perché le basi AD e BC vivono su rette parallele, quindi sono segmenti paralleli anch'essi. Per dimostrare che è isoscele calcoliamo con la formula della distanza tra punti, la distanza tra A e B e C e D:

AB= \sqrt{(x_A- x_B)^2+ (y_A- y_B)^2}= \sqrt{1+4}= \sqrt{5}

CD= \sqrt{(x_C- x_D)^2+ (y_C- y_D)^2}= \sqrt{4+1}= \sqrt{5}

AB e CD sono segmenti con la stessa lunghezza il ché vuol dire che i lati obliqui sono congruenti, è un trapezio isoscele

4.A questo punto dobbiamo trovare le intersezioni delle diagonali. Determiniamo l'equazione della retta passante per 2 punti, B e D:

r_{B,D}: \frac{y- y_B}{y_D- y_B}= \frac{x- x_B}{x_{D}- x_B}

Sostituendo i numeri otterrai:


r_{BD}: y= \frac{5}{4}(1+x)

Adesso determiniamo la retta passante per i punti A e C con lo stesso principio otterrai:

r_{AC}: y= \frac{2}{5}(5+2x)

Adesso intersechiamo le due rette:

\begin{cases}y= \frac{5}{4}(1+x)\\ y= \frac{2}{5}(5+2x)\end{cases}

Otterrai che il punto di intersezione delle diagonali è \left(\frac{5}{3}, \frac{10}{3}\right)

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, Bringo

Problema su rette parallele che formano un trapezio isoscele #53427

avt
Bringo
Punto
Grazie per la spiegazione, davvero esaustiva, però ancora non ho capito l'ultimo passaggio. Come faccio a ottenere quel risultato \frac{5}{3} e \frac{10}{3} dal sistema y =\frac{5}{4}(1+x) e y= \frac{2}{5}(5+2x)?

Problema su rette parallele che formano un trapezio isoscele #53430

avt
Ifrit
Ambasciatore
Eccomi emt

In pratica devi procedere con il metodo di confronto:

\begin{cases}y= \frac{5}{4}(1+x)\\ y= \frac{2}{5} (5+ 2x)\end{cases}

Otteniamo:

\begin{cases}y= \frac{5}{4}(1+x)\\ \frac{5}{4}(1+x)= \frac{2}{5} (5+2x)\end{cases}

Risolvi la seconda equazione di primo grado, otterrai:

x= \frac{5}{3}

Sostituiamo nella prima equazione il valore ottenuto:

y= \frac{5}{4}\left(1+ \frac{5}{3}\right)= \frac{10}{3}
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, Bringo
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Os