Problema su rette parallele che formano un trapezio isoscele

Ciao a tutti! Mi ritrovo questo problema di geometria analitica sulle rette parallele: condurre per i punti A(0;2) B(-1;0) le parallele alla bisettrice del primo e del terzo quadrante che incontrano rispettivamente in D e C la retta x-2y+7=0. Verificare che il quadrilatero ABCD è un trapezio isoscele e calcolare le coordinate del punto d'intersezione delle diagonali.

Non so proprio da dove cominciare! :/ non ho capito come fare a condurre per quei punti le parallele alla bisettrice del primo e del terzo quadrante... E poi la seconda parte come faccio a calcolare le coordinate del punto d'intersezione?

Support is needed please!

Ciao bringo

Procediamo in questo modo:

1. Determiniamo "r", la retta parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante passante per il punto .

La bisettrice del primo e del terzo quadrante ha equazione e il suo coefficiente angolare è

La retta generica passante per il punto ha equazione:



Imponiamo la condizione di parallelismo: i coefficienti angolari delle due rette devono coincidere.



L'equazione della retta r è quindi.



2. Determiniamo "s", la retta parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante passante per il punto , seguendo il ragionamento visto prima.

L'equazione della retta s è:



Imponiamo la condizione di parallelismo con la retta bisettrice del primo e del terzo, così da ottenere:



L'equazione della retta s è:



3. Determiniamo le coordinate dei punti D e C.

In particolare D è dato dall'intersezione della retta r con la retta . Impostiamo il sistema:



Risolvi il sistema per sostituzione così da ottenere le soluzioni:

quindi

C è dato dall'intersezione della retta s con la retta , impostiamo il sistema:



Risolvendolo otterrai che .

Il poligono è certamente un trapezio perché le basi e vivono su rette parallele, quindi sono segmenti paralleli anch'essi. Per dimostrare che è isoscele calcoliamo con la formula della distanza tra punti, la distanza tra A e B e C e D:





AB e CD sono segmenti con la stessa lunghezza il ché vuol dire che i lati obliqui sono congruenti, è un trapezio isoscele

4.A questo punto dobbiamo trovare le intersezioni delle diagonali. Determiniamo l'equazione della retta passante per 2 punti, B e D:



Sostituendo i numeri otterrai:




Adesso determiniamo la retta passante per i punti e con lo stesso principio otterrai:



Adesso intersechiamo le due rette:



Otterrai che il punto di intersezione delle diagonali è

Grazie per la spiegazione, davvero esaustiva, però ancora non ho capito l'ultimo passaggio. Come faccio a ottenere quel risultato e dal sistema e ?

Eccomi

In pratica devi procedere con il metodo di confronto:



Otteniamo:



Risolvi la seconda equazione di primo grado, otterrai:



Sostituiamo nella prima equazione il valore ottenuto: