Similitudine diretta

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Similitudine diretta #52671

avt
GhGiov
Punto
Salve a tutti, sto cercando di aiutare mio fratello a fare degli esercizi di Geometria sulle trasformazioni e in particolare uno sulla similitudine diretta, ma sto incontrando alcuni problemi (visto che sono uscito dalle superiori 10 anni fa e che il suo libro di geometria non è per niente chiaro).

Posto un esercizio e chiedo il vostro aiuto per la sua risoluzione e anche se potete consigliarmi dispense o qualcosa sulle trasformazioni geometriche e sulle composizioni di trasformazioni, che possano rinfrescarmi le idee.

Esercizio:

indica le coordinate dei vertici di un poligono ottenuto da quello assegnato (di cui sono forniti i vertici), attraverso una similitudine diretta con rapporto K dato.

A(1;-1), B(0;2), C(-1;0) e K=3

Mio tentativo: ho preso le equazioni generiche di una similitudine

x'= ax-cy+p
y'= cx+ay+q

ma come determino a, c, p e q? O sono sbagliate le equazioni oppure mi mancano sicuramente delle condizioni che legano k a questi coefficienti.

Grazie anticipatamente
 
 

Re: Similitudine diretta #52680

avt
Omega
Amministratore
Ciao GhGiov, le equazioni che hai scritto descrivono effettivamente una similitudine diretta nel piano cartesiano:

\begin{cases}x'=ax-cy+p\\ y'=cx+ay+q\end{cases}

dove a,c,p,q\in\mathbb{R}. Con i soli calcoli non possiamo cavarcela, dunque vale la pena di fare un'analisi preliminare sul poligono considerato e sulle proprietà delle similitudini dirette.

Una similitudine diretta è una trasformazione di coordinate che:

- conserva i rapporti tra le distanze per coppie di punti;

- conserva gli angoli;

- conserva l'ordine dei vertici.

Vale la pena dunque di capire se il poligono assegnato dall'esercizio - un triangolo - presenta qualche particolare proprietà.

Se disegni il triangolo e se calcoli le equazioni delle rette passanti per i punti B,C e A,C ti accorgerai subito che tali rette sono perpendicolari. I loro coefficienti angolari sono infatti l'uno il reciproco dell'opposto dell'altro.

Ci troviamo di fronte ad un triangolo rettangolo. Il poligono che otterremo nel nuovo riferimento di coordinate sarà ancora un triangolo rettangolo e in particolare le rette passanti per B',C' e A',C' saranno perpendicolari tra loro.

La trasformazione sarà unica o no? Il teorema di esistenza e unicità delle similitudini ci dice che dati tre punti non allineati A,B,C e un rapporto di similitudine k, se A',B',C' sono tre punti tali che

\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=k

allora esiste un'unica similitudine che manda A\to A', B\to B', C\to C'.

Tenendo conto che non devi limitarti alle sole coordinate dei punti e che puoi lavorare anche su altre proprietà geometriche del triangolo rettangolo, vuoi provare nuovamente? emt
Ringraziano: Pi Greco, Galois, GhGiov

Re: Similitudine diretta #52712

avt
GhGiov
Punto
Grazie mille!!!!

Soprattutto per la velocità di risposta e perchè mi hai indicato la via.... senza percorrerla al mio posto!! Almeno ho la possibilità di ritentare da solo.... mi sento veramente tanto arrugginito. emt

Ora provo a fare questo e anche gli altri similari.

Re: Similitudine diretta #52717

avt
Omega
Amministratore
Nel caso di ulteriori difficoltà sai dove trovarci. emt
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Os