Retta che stacca una corda su una circonferenza

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Retta che stacca una corda su una circonferenza #5110

avt
Axel95Broxx
Punto
Mi hanno dettato questo problema per mercoledì, devo trovare la retta passante per un punto e tale da staccare una corda su una circonferenza. Mi spiegate per favore?

Data l'equazione di una circonferenza:

x^2+y^2=5

Trovare la retta passante per P (1;5) che intercetti sulla circonferenza una corda AB=4 e che intersechi l'asse delle x a destra dell'origine. Determinare inoltre le equazione delle tangenti PT1 e PT2 (passanti per P), trovare la misura di PT1


Il mio problema sorge quando devo trovare la corda, perché raggio e centro si trovano con le formule.. Trovati quelli non so come proseguire...
 
 

Retta che stacca una corda su una circonferenza #5122

avt
Ifrit
Ambasciatore
Questo esercizio mi sta facendo sclerare, qualcuno ha qualche idea? emt
Ringraziano: Omega, frank094, Axel95Broxx

Retta che stacca una corda su una circonferenza #5125

avt
Omega
Amministratore
Io ho provato a procedere nel modo standard, cioè considerando la generica retta nella forma y-y_P=m(x-x_P), sostituire le coordinate del punto e poi sostituire l'equazione della retta nell'equazione della circonferenza.

Calcoli folli, si vede ancora prima di cominciare.

Poi però se guardiamo una specifica retta...

x=1

si trova per sostituzione 1+y^2=5 da cui y^2=4 cioè troviamo la corda di estremi (1,-2),(1,2). Che ha proprio lunghezza 4. emt

Per il resto dell'esercizio, (da qui in poi è - purtroppo - puro calcolo) si prende la generica equazione della retta passante per il punto (1,5) e si mette a sistema con l'equazione della circonferenza, richiedendo poi la condizione di tangenza: che il discriminante dell'equazione di secondo grado che ne risulta si annulli. Ciò fornirà una condizione sul coefficiente angolare m delle due rette di comune equazione

y-5=m(x-1)

ossia

y=mx-m+5

Mettiamola a sistema con x^2+y^2=5

x^2+(mx-m+5)^2=5

x^2+m^2x^2+m^2+25-2m^2x-10m+10mx-5=0

x^2(m^2+1)+x(-2m^2+10m)+(m^2-10m+20)=0

Dunque calcoliamo il discriminante dell'equazione

(-2m^2+10m)^2-4(m^2+1)(m^2-10m+20)=0

A questo punto, dopo una certa quantità di calcoli meccanicissimi, si trovano i due coefficienti angolari

m=\frac{1}{4}(-5\pm \sqrt{105})

e quindi le due rette si scrivono nella forma

y=\frac{1}{4}(-5- \sqrt{105})x-\frac{1}{4}(-5- \sqrt{105})+5

y=\frac{1}{4}(-5+ \sqrt{105})x-\frac{1}{4}(-5+ \sqrt{105})+5

Ora, dato che dobbiamo calcolare il punto di tangenza T_1 e quindi la lunghezza del segmento PT_1, ma non posso sapere a priori (c'è un disegno) quale dei due sia, mi limito ad indicare il procedimento:

- si mette a sistema l'equazione della retta tangente con l'equazione della circonferenza, e si trovano le coordinate del punto T_1;

- si calcola la distanza con la solita formula della distanza tra due punti

PT_1=\sqrt{(x_P-x_{T_1})^2+(y_P-y_{T_1})^2}
Ringraziano: Pi Greco, frank094, Ifrit, Axel95Broxx, CarFaby

Retta che stacca una corda su una circonferenza #5126

avt
Ifrit
Ambasciatore
Grazie Omega! Ci ho sclerato fino a 5 secondi fa... Certo che questi esercizi sono proprio mal calibrati emt
Ringraziano: Omega, frank094

Retta che stacca una corda su una circonferenza #5128

avt
Omega
Amministratore
Per come la vedo io, è chiaro che a molti studenti passi la voglia di fare Matematica. Non ho mai sopportato gli esercizi con risoluzioni completamente "casuali"!
Ringraziano: Pi Greco, frank094, Ifrit, Axel95Broxx

Retta che stacca una corda su una circonferenza #5178

avt
Axel95Broxx
Punto
Grazie di cuore ad entrambi, mi avete fatto un enorme favore!
Ringraziano: Omega
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Os