Trovare la retta perpendicolare a una retta di un fascio

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Trovare la retta perpendicolare a una retta di un fascio #5038

avt
La principessa sul pisello
Visitatore
Mi è capitato un esercizio sul fascio di rette in cui mi viene chiesto di determinare la retta del fascio perpendicolare a un'altra di cui è nota l'equazione. Come dovrei procedere?

Data l'equazione del fascio di rette

r_{k}\ : \ (3k+2)x+(2k-1)y+1-8k=0

trova il valore di k corrispondente alla retta r_{k} del fascio perpendicolare alla retta s di equazione:

s\ :\ 3x+y-2=0

Grazie mille.
 
 

Trovare la retta perpendicolare a una retta di un fascio #5050

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo il fascio di rette

r_{k} \ : \ (3k+2)x+(2k-1)y-8k=0

e calcoliamone il coefficiente angolare con la relazione:

m_{r_k}=-\frac{a}{b} \ \ \ \mbox{con}\ b\ne 0

dove a\ \mbox{e} \ b sono rispettivamente il coefficiente di x e il coefficiente di y dell'equazione della retta espressa in forma implicita.

Nel nostro caso

a=3k+2 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ b=2k-1

per cui

m_{r_k}=-\frac{a}{b}=-\frac{3k+2}{2k-1}

con 2k-1\ne 0, cioè per k\ne\frac{1}{2}.

Usando la medesima relazione, siamo in grado di calcolare il coefficiente angolare della retta

s \ : \ 3x+y-2=0

e vale:

m_{s}=-\frac{a_s}{b_s}=-\frac{3}{1}=-3


Condizione di perpendicolarità

Ricordiamo che due rette (non parallele all'asse delle ordinate) sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è uguale a -1, per cui le rette r_{k}\ \mbox{e} \ s sono perpendicolari se e solo se

m_{r_{k}}\cdot m_{s}=-1

ossia

\left(-\frac{3k+2}{2k-1}\right)\cdot(-3)=-1

Abbiamo ottenuto un'equazione fratta di primo grado nell'incognita k.

Per determinare la soluzione, svolgiamo il prodotto al primo membro

\frac{9k+6}{2k-1}=-1

moltiplichiamo a destra e a sinistra per 2k-1

9k+6=-(2k-1)

e usiamo la regola dei segni per cancellare le parentesi tonde a destra

9k+6=-2k+1

A questo punto risolviamo l'equazione di primo grado trasportando al primo membro i termini con l'incognita e al secondo quelli senza:

9k+2k=-6+1 \ \ \ \to \ \ \ 11k=-5\ \ \ \to \ \ \ k=-\frac{5}{11}

Il valore di k che abbiamo ricavato individua la retta r_{k} del fascio che è perpendicolare a s.

Sebbene non sia richiesta esplicitamente dalla traccia, l'equazione di r_{k} per k=-\frac{5}{11} è:

\\ r_{-\frac{5}{11}} \ : \ \left[3\left(-\frac{5}{11}\right)+2\right]x+\left[2\left(-\frac{5}{11}\right)-1\right]y-8\left(-\frac{5}{11}\right)=0 \\ \\ \\ r_{-\frac{5}{11}} \ : \ \frac{7}{11}x-\frac{21}{11}y+\frac{40}{11}=0 \ \ \ \to \ \ \ 7x-21y+40=0

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit
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Os