Circonferenza con centro su una retta che stacca una corda...

Ciao, il mio nome è Pamela e frequento la terza superiore. Ho un problema sulla circonferenza che ho provato più volte a risolvere, ma non ci sono proprio riuscita, anche perché andavo a tentativi non sapendo da dove cominciare.

Il testo è questo: determina le equazioni delle circonferenze che hanno centro sulla retta y=2, passano per A(5;-2) e staccano sull'asse delle x una corda lunga 8.

Grazie.

Ciao Pamela 96 e Benvenuta su YouMath

Risolviamo il tuo problema: ti suggerisco di tenere aperto il formulario sulla circonferenza.

Una generica circonferenza ha equazione del tipo:



Con le condizioni che hai, dobbiamo trovare i valori dei parametri

Procediamo: il suo generico centro ha coordinate:



Poiché deve appartenere alla retta la sua ordinata deve essere , ovvero:



abbiamo già trovato il valore del parametro ; sostituiamolo nella circonferenza generica:



Imponiamo ora il passaggio per il punto :



da cui:



Ricaviamo :



e sostituiamo nella circonferenza:

(*)

Rimane da trovare il valore del parametro , tramite l'ultima condizione, ovvero che la circonferenza stacca sull'asse delle (che ha equazione ) una corda li lunghezza

mettiamo quindi a sistema la circonferenza con l'asse per trovare i punti di intersezione con esso:



Otteniamo:



si tratta di un'equazione di secondo grado in

Risolviamola:



e quindi:



quindi abbiamo trovato i due punti:



Imponiamo ora che la distanza tra i due punti sia

Poiché hanno la stessa ordinata, per trovare la distanza basta fare la differenza, in valore assoluto, dei valori delle ascisse, ovvero:



Facendo semplificazioni varie ed elevando al quadrato abbiamo:



ovvero:



da cui:



Andando a sostituire in (*) abbiamo le circonferenze cercate:



e



Spero di essere stato chiaro