Circonferenza con centro su una retta che stacca una corda...

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#48697
avt
Pamela96
Punto
Ciao, il mio nome è Pamela e frequento la terza superiore. Ho un problema sulla circonferenza che ho provato più volte a risolvere, ma non ci sono proprio riuscita, anche perché andavo a tentativi non sapendo da dove cominciare.

Il testo è questo: determina le equazioni delle circonferenze che hanno centro sulla retta y=2, passano per A(5;-2) e staccano sull'asse delle x una corda lunga 8.

Grazie.
#48738
avt
Galois
Amministratore
Ciao Pamela 96 e Benvenuta su YouMath emt

Risolviamo il tuo problema: ti suggerisco di tenere aperto il formulario sulla circonferenza.

Una generica circonferenza ha equazione del tipo:

x^2+y^2+ax+by+c = 0

Con le condizioni che hai, dobbiamo trovare i valori dei parametri a,b,c

Procediamo: il suo generico centro ha coordinate:

-(a)/(2),-(b)/(2)

Poiché deve appartenere alla retta y = 2 la sua ordinata deve essere 2, ovvero:

-(b)/(2) = 2 e quindi b = -4

abbiamo già trovato il valore del parametro b; sostituiamolo nella circonferenza generica:

x^2+y^2+ax-4y+c = 0

Imponiamo ora il passaggio per il punto A(5,-2):

(-5)^2+(-2)^2+a(5)-4(-2)+c = 0

da cui:

5a+c+37 = 0

Ricaviamo c:

c = -5a-37

e sostituiamo nella circonferenza:

x^2+y^2+ax-4y-5a-37 = 0 (*)

Rimane da trovare il valore del parametro a, tramite l'ultima condizione, ovvero che la circonferenza stacca sull'asse delle x (che ha equazione y = 0) una corda li lunghezza 8

mettiamo quindi a sistema la circonferenza con l'asse x per trovare i punti di intersezione con esso:

x^2+y^2+ax-4y-5a-37 = 0 ; y = 0

Otteniamo:

x^2+ax-(5a+37) = 0

si tratta di un'equazione di secondo grado in x

Risolviamola:

Δ = a^2+4(5a+37) = a^2+20a+148

e quindi:

x_(1/2) = (-a±√(a^2+20a+148))/(2)

quindi abbiamo trovato i due punti:

((-a-√(a^2+20a+148))/(2),0) e ((-a+√(a^2+20a+148))/(2),0)

Imponiamo ora che la distanza tra i due punti sia 8

Poiché hanno la stessa ordinata, per trovare la distanza basta fare la differenza, in valore assoluto, dei valori delle ascisse, ovvero:

|(-a-√(a^2+20a+148))/(2)-(-a+√(a^2+20a+148))/(2) | = 8

Facendo semplificazioni varie ed elevando al quadrato abbiamo:

a^2+20a+148 = 64

ovvero:

a^2+20a+84 = 0

da cui:

a = -14 e a = -6

Andando a sostituire in (*) abbiamo le circonferenze cercate:

x^2+y^2-14x-4y+33 = 0

e

x^2+y^2-6x-4y+33 = 0

Spero di essere stato chiaro emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, SARA96
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