Circonferenza con centro su una retta che stacca una corda...

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Circonferenza con centro su una retta che stacca una corda... #48697

avt
Pamela96
Punto
Ciao, il mio nome è Pamela e frequento la terza superiore. Ho un problema sulla circonferenza che ho provato più volte a risolvere, ma non ci sono proprio riuscita, anche perché andavo a tentativi non sapendo da dove cominciare.

Il testo è questo: determina le equazioni delle circonferenze che hanno centro sulla retta y=2, passano per A(5;-2) e staccano sull'asse delle x una corda lunga 8.

Grazie.
 
 

Re: Circonferenza con centro su una retta che stacca una corda... #48738

avt
Galois
Amministratore
Ciao Pamela 96 e Benvenuta su YouMath emt

Risolviamo il tuo problema: ti suggerisco di tenere aperto il formulario sulla circonferenza.

Una generica circonferenza ha equazione del tipo:

x^2+y^2+ax+by+c=0

Con le condizioni che hai, dobbiamo trovare i valori dei parametri a,b,c

Procediamo: il suo generico centro ha coordinate:

-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}

Poiché deve appartenere alla retta y=2 la sua ordinata deve essere 2, ovvero:

-\frac{b}{2}=2 \ e \ quindi \ b=-4

abbiamo già trovato il valore del parametro b; sostituiamolo nella circonferenza generica:

x^2+y^2+ax-4y+c=0

Imponiamo ora il passaggio per il punto A(5,-2):

(-5)^2+(-2)^2+a(5)-4(-2)+c=0

da cui:

5a+c+37=0

Ricaviamo c:

c=-5a-37

e sostituiamo nella circonferenza:

x^2+y^2+ax-4y-5a-37=0 (*)

Rimane da trovare il valore del parametro a, tramite l'ultima condizione, ovvero che la circonferenza stacca sull'asse delle x (che ha equazione y=0) una corda li lunghezza 8

mettiamo quindi a sistema la circonferenza con l'asse x per trovare i punti di intersezione con esso:

\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+ax-4y-5a-37=0 \\ y=0 \end{matrix}

Otteniamo:

x^2+ax-(5a+37)=0

si tratta di un'equazione di secondo grado in x

Risolviamola:

\Delta = a^2+4(5a+37)=a^2+20a+148

e quindi:

x_{1/2}=\frac{-a \pm \sqrt{a^2+20a+148}}{2}

quindi abbiamo trovato i due punti:

(\frac{-a - \sqrt{a^2+20a+148}}{2},0) \ e \ (\frac{-a + \sqrt{a^2+20a+148}}{2},0)

Imponiamo ora che la distanza tra i due punti sia 8

Poiché hanno la stessa ordinata, per trovare la distanza basta fare la differenza, in valore assoluto, dei valori delle ascisse, ovvero:

|\frac{-a - \sqrt{a^2+20a+148}}{2} - \frac{-a + \sqrt{a^2+20a+148}}{2} | = 8

Facendo semplificazioni varie ed elevando al quadrato abbiamo:

a^2 + 20a + 148 = 64

ovvero:

a^2 + 20a + 84 = 0

da cui:

a=-14 \ e \ a=-6

Andando a sostituire in (*) abbiamo le circonferenze cercate:

x^2 + y^2 -14x - 4y + 33 = 0

e

x^2 + y^2 -6x - 4y + 33 = 0

Spero di essere stato chiaro emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, SARA96
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