Area di un triangolo individuato da una parabola

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Area di un triangolo individuato da una parabola #48676

avt
AltalenanteSers
Punto
Ecco un problema sull'area di un triangolo con una parabola, mi sta creando diversi grattacapi.

Traccia il grafico della parabola di equazione y= -x^2 + 4x -3 e determina la misura dell'area del triangolo formato dai suoi punti di intersezione con gli assi cartesiani.


Quello che ho fatto io è stato di trovare prima di tutto il vertice, convinta che potesse rappresentare uno dei tre punti ABC del triangolo, e calcolare poi x_1,\ x_2 che corrispondono ai punti di coordinate A,\ B.

I punti A,B infatti sono corretti, è nel calcolare il punto C che trovo difficoltà, proprio perché non capisco come fare.

Vi sarei grata se qualcuno potesse aiutarmi, anche perché domani potrei essere interrogata e rimanere con questo dubbio temporaneo mi incasinerebbe un'altro votaccio. :(

Grazie in anticipo!
 
 

Re: Area di un triangolo individuato da una parabola #48698

avt
Manuel1990
Sfera
Wow un stupendo esercizio di Geometria Analitica!

Innanzitutto un paio di link utili:

- parabola;

- distanza tra 2 punti;

- triangolo.

Partiamo con l'esercizio!

Individuiamo A e B ponendo la parabola a sistema con y = 0, quindi:

\\ -x^2 +4x - 3 = 0\\ \\ x^2 - 4x +3 =0\\ \\ (x-3) (x-1) = 0\\ \\ x_1 = 3 \to A (3;0)\\ \\ x_2 = 1 \to B (1;0)

Ora troviamo C, è ancora più semplice perché basterà sostituire 0 alla x

\\ y = -(0)^2 + 4(0) - 3\\ \\ y=-3 \to C(0;-3)

Abbiamo i vertici, troviamoci la distanza tra essi (ossia i lati del triangolo). La formula la trovi nel link in cima, metto solo i risultati:

AB = 2,\ \ AC = 3\sqrt{2},\ \ BC = \sqrt{10}

Ora nel link del triangolo trovi la formula di Erone molto comoda in questi esercizi (e occhio che p è il semiperimetro).

In questo caso non mi pare la via più semplice, quindi disegniamo il grafico e notiamo che:

BH è un'altezza del triangolo poiché la retta passante per BH è perpendicolare alla retta passante per AC.

BH = \sqrt{2}

Calcoliamo l'area e per farlo usiamo come base AC e altezza BH

A = \frac{b\cdot h}{2} = \frac{AC\cdot BH}{2} = \frac{3\sqrt{2} \sqrt{2}}{2} = \frac{6}{2} = 3

Esercizio finito!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby
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Os