Problemi area minima e massima di rettangoli in parabole senza derivate

Ciao, avrei bisogno di capire in che modo posso risolvere i problemi sulla parabola in cui mi chiede di trovare perimetro o area massima di rettangoli.

Per un esempio pratico: ho la parabola e devo determinare, nel segmento parabolico delimitato dall'asse x, il rettangolo con perimetro massimo e quello con area massima).


Partendo dal fatto che capisco di dover mettere a sistema la parabola con il fascio improprio di rette e che poi arrivo ad avere due x (con k). Così posso trovare le distanze dei vertici e trovare l'equazione con k del perimetro e dell'area.

Ma a questo punto, NON potendo fare la derivata in quanto non l'ho ancora studiata, come posso procedere?

Grazie.

Ciao sbesby,

per prima cosa disegna la parabola che ha intersezione con l'asse X nei punti:



ed è concava con vertice:



L'asse della parabola ha equazione:



Grazie alla simmetria della parabola rispetto all'asse, posso pensare di lavorare con la variabile x che varia tra 0 e 2.

Consideriamo ora un punto A di coordinare:



Per questione di simmetria si ha che:



La distanza corrisponde alla base del rettangolo:



Dobbiamo esprimere l'altezza, al variare di x:



Il perimetro del rettangolo è dato da:



Il perimetro è in funzioni di x e la sua espressione descrive una parabola concava, quindi il punto di massimo e il massimo sono dati rispettivamente dall'ascissa e dall'ordinata del vertice:



Il punto di massimo è mentre il massimo è 10.

Per l'area le cose si complica un pochetto:



Però qui senza derivate non saprei come affrontare la cosa.

Ecco il grafico