Sistema parametrico con risoluzione geometrica

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Sistema parametrico con risoluzione geometrica #48079

avt
Lollo96
Punto
Ciao! Dopo aver visto delle discussioni riguardo ai sistemi parametrici da risolvere in Geometria Analitica, contenenti circonferenza (o parabola) fascio di rette e limitazione ho chiarito molti dubbi, ma uno non riesco proprio a chiarirlo: come si fa alla fine a trovare il verso del fascio e ad arrivare alla soluzione?

Per esempio:

\begin{cases}x^2 + y^2 = 4\\ y + 2x +k = 0\\ x\geq 0,\ y>0\end{cases}

Sono riuscito a trovare gli estremi del quarto di circonferenza che rimane dalla limitazione, giungendo ai valori k = -2,\ k = -4.

Poi, per trovare la retta tangente ho usato il metodo di imposizione del delta=0, e ho trovato k=\pm 2\sqrt{5}. Ora da qui il libro (così come la prof) non sa spiegare come andare avanti. Tutto quello che ho capito è che devo trovare i valori di k per cui si ha 1 sola soluzione e quelli per cui se ne hanno 2, ma come si fa? I risultati sono:

1 soluzione per: -4 \leq k \leq -2

2 soluzioni per : -2\sqrt{5}\leq k< -4

Grazie in anticipo.
 
 

Re: Sistema parametrico con risoluzione geometrica #48164

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Lollo96 emt

In pratica devi risolvere il sistema:

\begin{cases}x^2+y^2= 4\\ y+2 x+k=0\end{cases}

con vincolo \begin{cases}x\ge 0\\ y>0\end{cases}

Dalla seconda equazione del primo sistema possiamo esprimere y in funzione di x:

\begin{cases}x^2+y^2= 4\\ y=-2x-k\end{cases}

Sostituiamo nella prima equazione

\begin{cases}x^2+(-2x-k)^2= 4\\ y=-2x-k\end{cases}

Facciamo i conti con la prima, che equazione di secondo grado (in questo caso detta equazione risolvente)

x^2+4x^2+4k x+k^2-4=0\iff 5x^2+4k x +k^2-4=0

Calcoliamo il discriminate associato:

\Delta= \16k^2-4\cdot 5\cdot (k^2-4)=80-4k^2

Per questioni teoriche e senza vincoli (posizioni tra una retta e una circonferenza) avremo:

1. se \Delta<0 allora non abbiamo intersezioni tra la retta e la circonferenza (la retta è esterna alla circonferenza)

2. se \Delta=0 abbiamo un unico punto di intersezione tra la retta e la circonferenza (la retta è tangente alla circonferenza)

3. se \Delta>0 abbiamo due punti di intersezione (la retta è secante alla circonferenza)

Ora però noi abbiamo il vincolo che ci crea un po' di problemi, non perdiamoci d'animo:

\Delta=0\iff 80-4k^2=0\iff k=\pm 2\sqrt{5}

Dalla condizione

y+2x+k=0\implies k= -y-2x

e poiché x\ge 0 e y>0 allora necessariamente k<0

pertanto \Delta=0\iff k=-2\sqrt{5} (la soluzione con + deve essere scartata)

A questo punto per concludere immediatamente l'esercizio conviene passare all'interpretazione grafica del problema.

Hai già trovato i vincoli k= -4 e k=-2 che conducono alle rette:

y+2x-4=0 e y+2x-2=0

A questo punto riporti tutto su un grafico emt

sistema_misto_ifrit


In nero la retta tangente di equazione

2x+y-2\sqrt{5}=0

in blu la retta secante 2x+y-4=0

In rosso la retta 2x+y-2=0

Ora un ragionamento tranquillo tranquillo. Il fascio di rette è un fascio improprio quindi descrive un fascio di rette parallele!

Tutte le rette comprese tra la retta tangente e la retta "blu" avranno due punti di intersezione, questa informazione si traduce come:

-2\sqrt{5}< k\le -4

Inoltre tutte le rette comprese tra la retta "rossa" e la retta "blu" avranno invece un unico punto di intersezione, questa informazione si traduce analiticamente come:

-4< k\le -2

La retta tangente ha un punto di intersezione con la circonferenza quindi se k= -2\sqrt{5} abbiamo un unico punto di intersezione. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Lollo96

Re: Sistema parametrico con risoluzione geometrica #48178

avt
Lollo96
Punto
Ma perché non ci sei tu al posto della mia prof XD? Grazie mille!!!
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Os