Determinare le equazioni di tutte le circonferenze passanti per due punti

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Determinare le equazioni di tutte le circonferenze passanti per due punti #46824

avt
lussi
Punto
Buongiorno. Sto svolgendo un esercizio di Geometria in cui devo determinare le equazioni delle circonferenze passanti per due punti dati.

Sono in grado di ricavare quella che passa per due punti ma non tutte le circonferenze, come procedo?

Vi lascio anche i due punti P(-3,1),\ Q(1,-1), ma ciò che mi preme è capire come procedere.

Grazie. emt
Ringraziano: emt897
 
 

Re: Determinare le equazioni di tutte le circonferenze passanti per due punti #46856

avt
kameor
Sfera
Ciao, non è molto diverso dal caso di una sola circonferenza, inizia considerando l'equazione generica della circonferenza (click per le formule):

x^2+y^2+ax+by+c=0

e imponi il passaggio per P e Q ricavando due equazioni in a,b e c

\begin{cases}10-3a+b+c=0\\ 2+a-b+c=0\end{cases}

Siccome le equazioni sono solo 2 a fronte di 3 incognite puoi risolvere il sistema solo rispetto a due sole di esse, ad esempio a\ \mbox{e} \ b. Dalla prima equazione isoliamo b

\begin{cases}b=3a-c-10 \\ 2+a-b+c=0\end{cases}

Procediamo per sostituzione, rimpiazzando l'espressione di b della prima equazione nella seconda

\begin{cases}b=3a-c-10 \\ 2+a-(3a-c-10)+c=0\end{cases}

Grazie alla regola dei segni possiamo sbarazzarci delle parentesi tonde cambiando i segni dei termini contenuti in esse

\begin{cases}b=3a-c-10 \\ 2+a-3a+c+10+c=0\end{cases}

Semplifichiamo il più possibile la seconda equazione del sistema

\begin{cases}b=3a-c-10 \\ 2-2a+2c+10=0\end{cases}

Isoliamo a al primo membro, trasportando tutti gli altri termini al secondo e dividendo in seguito per -2

\begin{cases}b=3a-c-10 \\ -2a=-2-2c-10 \ \ \to \ \ a=\frac{-2c-12}{-2} \ \ \to \ \ a=c+6\end{cases}

Esprimiamo ora b in termini di c rimpiazzando a=c+6 nella prima equazione

\begin{cases}b=3(c+6)-c-10 \\ a=c+6\end{cases}

Svolgiamo i calcoli

\\ \begin{cases}b=3c+18-c-10 \\ a=c+6\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}b=2c+8 \\ a=c+6\end{cases}

In definitiva il fascio della circonferenza passante per i punti dati è

x^2+y^2+(c+6)x+(2c+8)y+c=0

L'incognita che rimane in questo caso rappresenta il parametro del fascio.
Ringraziano: Omega, lussi, Presix

Re: Determinare le equazioni di tutte le circonferenze passanti per due punti #46858

avt
Omega
Amministratore
Ciao a tutti emt

ero già in fase di edit ma Kameor mi ha preceduto ( emt ), invio ugualmente la mia risposta perché si tratta comunque di un procedimento alternativo a quello proposto (che va più che bene).

Si può scrivere l'equazione del fascio di circonferenze nella forma

\lambda (x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1)+ \mu (a_2x+b_2y+c_2)=0

dove x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1=0 è l'equazione di una circonferenza qualsiasi del fascio, mentre a_2x+b_2y+c_2=0 è l'equazione dell'asse radicale, cioè la retta passante per i due punti in comune a tutte le circonferenze.

La retta perpendicolare ad essa e passante per il punto medio del segmento radicale è la retta dei centri (asse centrale), cioè la retta dei centri di tutte le circonferenze del fascio.

Se individui un centro appartenente a tale retta (un punto qualsiasi della retta) puoi individuare la corrispondente equazione. Con questa e con l'equazione dell'asse radicale puoi scrivere l'equazione del fascio di circonferenze. emt
Ringraziano: kameor, lussi

Re: Determinare le equazioni di tutte le circonferenze passanti per due punti #75056

avt
simoneb
Punto
Ciao, avrei un dubbio su ciò che hai scritto.

Significa che nello scrivere un fascio di circonferenze io devo sempre scrivere per il primo parametro una circonferenza generale (senza coefficienti definiti, quindi canonica) mentre al secondo parametro accodo la retta passante per i due punti comuni a tutte le circonferenze?

E quindi, mandando la perpendicolare al punto medio di tale retta, questa passerà per forza per la retta contenenti tutti i centri?

Re: Determinare le equazioni di tutte le circonferenze passanti per due punti #75069

avt
Omega
Amministratore
Ciao Simoneb, hai posto una domanda molto interessante. emt

In generale, l'equazione di un fascio di rette nella forma

\lambda (x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1)+ \mu (a_2x+b_2y+c_2)=0

è lecita solo se non abbiamo a che fare con un fascio di circonferenze concentriche (in figura nel link, la rappresentazione di due cerchi concentrici).

Nel caso più generale possibile, l'equazione di un fascio di circonferenze è del tipo

\lambda (x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1)+ \mu (x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2)=0

oppure, con un opportuno raccoglimento e ponendo k=\frac{\lambda}{\mu}

k (x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1)+ (x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2)=0

In questo caso però staremmo escludendo la circonferenza (x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1)=0 (la cosiddetta circonferenza esclusa che si ottiene con k:=\infty).


Nell'esercizio considerato non corriamo pericoli: le circonferenze del fascio sono sicuramente non concentriche perché si intersecano in ben due punti, dunque possiamo usare la rappresentazione che ho proposto nel messaggio #46858.

\lambda (x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1)+ \mu (a_2x+b_2y+c_2)=0


Attenzione qui:

mandando la perpendicolare al punto medio di tale retta

non ha senso parlare di punto medio di una retta, semmai si può parlare di punto medio di un segmento.

A parte questo
E quindi, mandando la perpendicolare al punto medio di tale segmento, questa passerà per forza per la retta contenenti tutti i centri?

esatto. Tale retta non a caso viene chiamata retta dei centri, o asse centrale.

Ricapitolando, nel caso di un fascio di circonferenze non concentriche:

- punti base: sono i punti in comune a tutte le circonferenze del fascio.

- asse radicale: passa per i punti base del fascio di circonferenze;

- asse centrale, o retta dei centri: è perpendicolare all'asse radicale e contiene tutti i centri delle circonferenze.
Ringraziano: simoneb
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