Simmetrizzare una retta rispetto ad un punto

Buonasera a tutti,
è tutto il giorno che mi scervello per capire il perché di un passaggio. Ora vi spiego: devo simmetrizzare una retta qualsiasi (prendiamo come esempio r: 2x - y + 3 = 0 ) rispetto ad un punto qualsiasi ( ad esempio P(2,3) ). Io so come fare ma il problema sta nel PERCHE' si faccia così.

Allora innanzitutto troviamo l'insieme dei punti simmetrici rispetto a P:

x' = 4 - x

y' = 6 - y

Ora esplicitiamo rispetto alle due variabili

x = 4 - x'

y = 6 - y'

E andiamo a sostituire nell'equazione della retta ottenendo l'equazione della retta simmetrica ossia:



Il mio dubbio è: perché, per trovare l'equazione della retta simmetrica, sostituiamo 4 - x' e 6 - y' al posto della x e della y? Chi ci dice che così facendo otterremo con sicurezza l'equazione della retta simmetrica?

Grazie a chi risponderà.

Ciao DavideZor

Prima di procedere ti suggerisco di dare uno sguardo alla nostra guida sulle trasformazioni geometriche nel piano.

L'esercizio richiede un particolare tipo di trasformazione, quello che si basa sulla simmetria centrale.

Da quanto ho capito il tuo dubbio non riguarda le formule, sulle quali spenderò comunque due parole, concerne piuttosto il concetto di trasformazione di coordinate in sé e per sé.

Innanzitutto: come si trovano le coordinate di un punto simmetrico di un punto rispetto a un centro ? Basta considerare il centro come punto medio del segmento avente per estremi e , dunque prendendo come riferimento le formule per le coordinate del punto medio di un segmento.



Ora: applicare un cambiamento di coordinate significa passare da un riferimento di coordinate ad un altro; il passaggio è descritto da determinate leggi di trasformazione.

Come si effettua il passaggio dal vecchio riferimento di coordinate al nuovo? Basta sostituire al posto di le espressioni delle leggi che esprimono in funzione di .

Tutto qui. E' per questo motivo che devi sostituire nell'equazione della retta (che vive nel "vecchio" riferimento di coordinate) le espressioni delle leggi che esprimono il passaggio al nuovo sistema di coordinate. In pratica le leggi che hai scritto mandano ciascun punto nel suo simmetrico rispetto a , quindi applicare una tale trasformazione all'intera retta significa mandare ciascuno dei suoi punti nel corrispondente simmetrico rispetto a .