Misure delle diagonali di un quadrilatero e dei lati opposti

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Misure delle diagonali di un quadrilatero e dei lati opposti #42972

avt
nutella
Punto
Buongiorno a tutti! In questo topic volevo chiedervi una mano per una dimostrazione inerente i quadrilateri. Il testo dice:

"dimostra che in un quadrilatero la somma delle diagonali è maggiore della somma di due lati opposti".

Questa è la mia prima discussione(mi sono appena iscritta!)quindi perdonatemi se ci sono qualche errori qua e là emt

Spero che mi possiate aiutare.. emt

Ciao!
 
 

Misure delle diagonali di un quadrilatero e dei lati opposti #42981

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Nutella (BUONA la nutella) benvenuta su YouMath emt

Considera un quadrilatero ABCD generico


quadrilatero_ifrit



Dobbiamo dimostrare che

AC+DB> AD+BC

Per farlo utilizzeremo la disuguaglianza triangolare. Consideriamo il triangolo AOE, per la disuguaglianza triangolare:

AE+DE> AD

Consideriamo ora il triangolo EBC, per la disuguaglianza triangolare:

BE+EC> BC

Sommando membro a membro le due disequazioni:

AE+DE+BE+EC> AD+BC

Ora AE+EC= AC che è appunto una diagonale del quadrilatero

DE+EB= BD che è l'altra diagonale.

quindi possiamo concludere che:

AC+BD> AD+BC

Puoi procedere allo stesso modo considerando i triangolo AEB e DEC per mostrare che

AC+BD>AB+CD

Spero di essere stato d'aiuto. Nel caso chiedi! emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, nutella

Misure delle diagonali di un quadrilatero e dei lati opposti #42982

avt
Omega
Amministratore
Ciao Nutella emt

Va tutto bene eccetto la categoria in cui hai pubblicato il topic: successivamente lo sposterò in "Geometria delle figure piane e dei solidi".

Considera un quadrilatero qualsiasi, e diamo per buona la disuguaglianza triangolare, secondo la quale la somma delle misure di due lati in un triangolo qualsiasi è maggiore della misura del terzo lato. Consideriamo le due diagonali: nota che esse dividono il quadrilatero in quattro triangoli.

Prendiamo due triangoli opposti, e chiamiamo a,b i due lati del quadrilatero che formano assieme alle due diagonali i due triangoli considerati.

Il punto di intersezione tra le due diagonali divide ciascuna delle due diagonali in due parti. Per essere più precisi, chiamiamo le misure dei lati del primo triangolo a,d_1,d_2 e b,d_3,d_4 le misure dei lati del secondo triangolo.

Per la disuguaglianza triangolare

a\leq d_1+d_2

b\leq d_3+d_4

Sommiamo le due disuguaglianze

a+b\leq d_1+d_2+d_3+d_4

Dato che D_1=d_1+d_3 e D_2=d_2+d_4 sono proprio le due misure delle diagonali, abbiamo finito!

a+b\leq D_1+D_2
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, nutella
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Os