Intersezioni tra retta e grafico di una funzione

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#42274
avt
littlerabb94
Punto
Ciao a tutti, in un esercizio devo trovare i valori di un parametro per i quali una retta e il grafico di una funzione si intersecano. Innanzitutto vorrei ringraziare in anticipo i moderatori e gli amministratori di questo forum, che costituisce almeno a titolo personale la mia salvezza!

Dopodiché presento il quesito che non riesco a risolvere; il testo recita così:

determinare per quali valori di t la retta y=t interseca il grafico della funzione

y = (4x+4)/ (x^2 - 3x)

in due punti A e B (distinti o coincidenti). Grazie in anticipo.
#42293
avt
Ifrit
Amministratore
Ciao littlerabb94 emt

Iniziamo, impostando il sistema:

y = (4x+4)/(x^2+3x) ; y = t

Ti faccio notare che dobbiamo richiedere che

x^2+3x ne 0 ⇔ x = 0 ∨ x ne-3 altrimenti si annullerebbe il denominatore.


Procedendo per sostituzione otterrai l'equazione:

(4x+4)/(x^2+3x) = t

Portiamo tutto al primo membro:

(4x+4)/(x^2+3x)-t = 0

Minimo comune multiplo:

(4x+4-t x^2+3 t x)/(x^2+3x) = 0

(-t x^2+(3 t+4) x+4)/(x^2+3x) = 0


Vediamo per quali valori si annulla il numeratore:

-t x^2+(3 t+4)x+4 = 0

Il discriminate associato alla equazione è:

Δ = (3t+4)^2-4·(-4t) = 16+40t+9t^2

Se il Delta associato è non negativo allora l'equazione ha soluzioni, e quindi la retta y=t e la funzione hanno punti in comune.

Δ ≥ 0 ⇔ 9 t^2+40 t+16 ≥ 0 ⇔ t ≤ -4 ∨ t ≥ -(4)/(9)

Quindi abbiamo intersezione se e solo se t∈ (-∞,-4] U [-4/9,+∞)

abbiamo finito. Se hai dubbi... :)
Ringraziano: Omega, Pi Greco, littlerabb94, Galois
#42308
avt
littlerabb94
Punto
Molto esauriente! Grazie mille;
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