Intersezioni tra retta e grafico di una funzione

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Intersezioni tra retta e grafico di una funzione #42274

avt
littlerabb94
Punto
Ciao a tutti, in un esercizio devo trovare i valori di un parametro per i quali una retta e il grafico di una funzione si intersecano. Innanzitutto vorrei ringraziare in anticipo i moderatori e gli amministratori di questo forum, che costituisce almeno a titolo personale la mia salvezza!

Dopodiché presento il quesito che non riesco a risolvere; il testo recita così:

determinare per quali valori di t la retta y=t interseca il grafico della funzione

y = (4x+4)/ (x^2 - 3x)

in due punti A e B (distinti o coincidenti). Grazie in anticipo.
 
 

Intersezioni tra retta e grafico di una funzione #42293

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao littlerabb94 emt

Iniziamo, impostando il sistema:

\begin{cases}y=\frac{4x+4}{x^2+3x}\\ y=t\end{cases}

Ti faccio notare che dobbiamo richiedere che

x^2+3x\ne 0\iff x=0\vee x\ne -3 altrimenti si annullerebbe il denominatore.


Procedendo per sostituzione otterrai l'equazione:

\frac{4x+4}{x^2+3x}= t

Portiamo tutto al primo membro:

\frac{4x+4}{x^2+3x}- t=0

Minimo comune multiplo:

\frac{4x+4-t x^2+3 t x}{x^2+3x}=0

\frac{-t x^2+(3 t+4) x+4}{x^2+3x}=0


Vediamo per quali valori si annulla il numeratore:

-t x^2+(3 t+4)x +4=0

Il discriminate associato alla equazione è:

\Delta= (3t+4)^2-4\cdot (-4t)=16+40t+9t^2

Se il Delta associato è non negativo allora l'equazione ha soluzioni, e quindi la retta y=t e la funzione hanno punti in comune.

\Delta\ge 0\iff 9 t^2+40 t+16\ge 0\iff t\le -4\vee t\ge -\frac{4}{9}

Quindi abbiamo intersezione se e solo se t\in (-\infty, -4]\cup [-4/9, +\infty)

abbiamo finito. Se hai dubbi... :)
Ringraziano: Omega, Pi Greco, littlerabb94, Galois

Intersezioni tra retta e grafico di una funzione #42308

avt
littlerabb94
Punto
Molto esauriente! Grazie mille;
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Os