Punto di intersezione degli assi di segmenti

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Punto di intersezione degli assi di segmenti #41784

avt
Rosy
Banned
Riporto di seguito un problema con punti di intersezione, assi e segmenti che non riesco proprio a risolvere.

Dati i punti A(-4;-1),\ B(0;3),\ C(1;1),\ D(-4;6), determina il punto di intersezione degli assi dei segmenti AB e CD.

Vi ringrazio sin da ora per il vostro aiuto.
 
 

Re: Punto di intersezione degli assi di segmenti #41792

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao rosy! Vediamo come fare.

Per prima cosa calcoliamo il punto medio del segmento AB:

\\ M_{AB}=\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)=\\ \\ \\ =\left(\frac{-4+0}{2},\frac{-1+3}{2}\right)= (-2,1)

e il punto medio del segmento CD:

\\ M_{CD}=\left(\frac{x_C+x_D}{2}, \frac{y_C+y_D}{2}\right)=\\ \\ \\ =\left(\frac{1-4}{2},\frac{1+6}{2}\right)= \left(-\frac{3}{2},\frac{7}{2}\right)

A questo punto abbiamo bisogno delle rette passanti per i punti A e B:

\\ r_{AB}:\ \frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}\\ \\ \\ r_{AB}:\ \frac{y+1}{4}=\frac{x+4}{4}

da cui:

r_{AB}:\ y+1=x+4\iff y= x+3

A questo punto determiniamo la retta perpendicolare a r passante per il punto M_{AB}:

\\ s:\ y-y_{M_{AB}}= m_{s}(x-x_{M_{AB}})\\ \\ s:\ y-1= m_{s}(x+2)

Per determinare il coefficiente angolare della retta s dobbiamo imporre la condizione di perpendicolarità.

s è perpendicolare a r_{AB} se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1.

m_{s}\cdot m_{r_{AB}}=-1\iff m_{s}=-1

L'equazione della retta s diventa quindi:

s:\ y-1= -(x+2)\iff y= -x-2+1\iff y=-x-1

la retta s rappresenta l'asse del segmento AB.

Adesso procediamo allo stesso modo per il segmento CD. Determiniamo la retta passante per CD:

\\ r_{CD}:\ \frac{y-y_C}{y_D-y_C}= \frac{x-x_C}{x_D-x_C}\\ \\ \\ r_{CD}:\ \frac{y-1}{6-1}= \frac{x-1}{-4-1}\\ \\ \\ r_{CD}:\ \frac{y-1}{5}= \frac{x-1}{-5}\iff y-1= -x+1\iff y=-x+2

Scriviamo la retta t passante per M_{CD} e perpendicolare a r_{CD}.

t:\ y-\frac{7}{2}= m_t \left(x+\frac{3}{2}\right)

Imponiamo la condizione di perpendicolarità:

m_{t}\cdot m_{r_{CD}}=-1\iff m_{t}\cdot(-1)= -1\iff m_{t}=1

Sostituendo nella retta t:

t:\ y-\frac{7}{2}=  \left(x+\frac{3}{2}\right)

Scriviamo la retta in forma normale:

t:\ y= x+5

t è l'equazione dell'asse del segmento CD. Dobbiamo determinare il punto di intersezione tra s e t per trovare il punto richiesto dall'esercizio.

Consideriamo il sistema lineare:

\begin{cases}y=-x-1\\ y=x+5\end{cases}

Procediamo per sostituzione,dalla prima equazione abbiamo y, sostituiamo nella seconda equazione:

\\ \begin{cases}y=-x-1\\ -x-1=x+5\end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases}y=-x-1\\ -2x=6\end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases}y=-x-1\\ x=-3\end{cases}

Sostituiamo -3 al posto di x nella prima equazione.

\\ \begin{cases}y=3-1\\ x=-3\end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases}y=2\\ x=-3\end{cases}

Il punto cercato è (-3,2).
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Rosy

Re: Punto di intersezione degli assi di segmenti #41806

avt
Rosy
Banned
Grazie mille!

Dubbio: perché il coefficiente m_s=-1 e perché m_t=1\ ?

Non riesco a capire quanto vale m_{r_{AB}}.

Re: Punto di intersezione degli assi di segmenti #41841

avt
Ifrit
Ambasciatore
In generale, se abbiamo l'equazione di una retta espressa nella forma esplicita , cioè se si presenta nella forma:

y= mx +q

allora il suo coefficiente angolare coincide con m, cioè con il coefficiente numerico della x

Nel nostro caso l'equazione della nostra retta è:

r_{AB}: y= x+3

Il suo coefficiente angolare è m_{r_{AB}}=1.

Inoltre dalla condizione di perpendicolarità abbiamo l'equazione:

m_{s}\cdot \overbrace{m_{r_{AB}}}^{=1}= -1

quindi sostituendo

m_{s}=-1


L'altro caso è analogo. L'equazione della retta passante per AB è:

r_{CD}: y=-x+2

il coefficiente angolare è m_{r_{CD}}=-1. Dalla condizione di perpendicolarità abbiamo l'equazione:

m_{t}\cdot \overbrace{m_{r_{CD}}}^{=-1}=-1

facendo i conti:

-m_t=-1

cambiando segno membro a membro:

m_t= 1

Spero sia chiaro ora..
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Re: Punto di intersezione degli assi di segmenti #41843

avt
Rosy
Banned
Sei stato chiarissimo, ti ringrazio un mondo!
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Os