Intersezioni tra retta e circonferenza e rette tangenti

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Intersezioni tra retta e circonferenza e rette tangenti #41642

avt
gea
Punto
Buona domenica a tutti, non riesco a risolvere questo problema: determinare le intersezioni della circonferenza di equazione x^2+y^2-2x+4y-8=0 con la retta di equazione y=-x-2, e trovare le equazioni delle tangenti alla circonferenza nei punti di intersezione fra circonferenza e retta.

I risultati sono A(-2,0), B(3,-5); tangente in A: 3x-2y+6=0 , tangente in B: 2x-3y-21=0.

Ho provato più volte a farla ma non ci riesco... :\
 
 

Intersezioni tra retta e circonferenza e rette tangenti #41646

avt
Omega
Amministratore
Ciao Gea, benvenuto/a! emt

Presta più attenzione, in futuro, ai titoli che scegli per le tue discussioni: se ci troviamo nella categoria "Geometria Analitica", un titolo come "Geometria Analitica del piano" non è molto indicativo. Molto meglio "Intersezioni tra retta e circonferenza e rette tangenti". emt

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Per determinare le intersezioni tra la retta e la circonferenza, metti a sistema le due equazioni

\begin{cases}x^2 + y^2 -2x +4y - 8=0\\ y=-x-2\end{cases}

e sostituisci l'espressione di y dato dall'equazione della retta nell'equazione della circonferenza

\begin{cases}x^2 + (-x-2)^2 -2x +4(-x-2) - 8=0\\ y=-x-2\end{cases}

Risolvendo la prima equazione trovi le ascisse dei punti di intersezione; sostituendole nella seconda, separatamente, trovi le corrispondenti ordinate. Hai così le coordinate dei punti di intersezione A,B.

Per determinare le rette tangenti, riprendiamo l'equazione della circonferenza

x^2+y^2-2x+4y-8=0

completa i quadrati in x e in y fino a portarla alla forma

(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2

In questo modo ricavi subito le coordinate del centro: (x_C,y_C). Per ricavare le rette tangenti nei punti A,B è sufficiente ricordare che il raggio congiungente il centro e il punto di tangenza è perpendicolare alla retta tangente, dunque puoi:

- ricavare le equazioni delle rette passanti per A,C e per B,C con la formula per l'equazione della retta passante per due punti;

- portare le equazioni di tali rette in forma esplicita, cioè nella forma

y=mx+q.

- Dato che la retta tangente e la retta del raggio devono essere perpendicolari, ricavi i coefficienti angolari delle rette tangenti (reciproco dell'opposto del coefficiente angolare della retta del raggio). Chiamiamolo m_{t,A},m_{t,B}.

- Scrivere l'equazione della tangente con la formula della retta con coefficiente angolare ed un punto:

y-y_A=m_{t,A}(x-x_A)

y-y_B=m_{t,B}(x-x_B)

Fine! emt
Ringraziano: Pi Greco

Intersezioni tra retta e circonferenza e rette tangenti #41661

avt
gea
Punto
le coordinate di A e B mi escono (6,8 ) e (-1, 1) :(

Intersezioni tra retta e circonferenza e rette tangenti #41673

avt
Omega
Amministratore
Se mi scrivi il procedimento posso dirti se e dove hai sbagliato, oppure se le tue coordinate sono giuste e sono sbagliati i risultati del libro. emt

Intersezioni tra retta e circonferenza e rette tangenti #41685

avt
gea
Punto
forse questa si vede meglio

[Edit - Mod] Allegato rimosso. [/Edit - Mod]

Intersezioni tra retta e circonferenza e rette tangenti #41693

avt
Omega
Amministratore
Scrivi il testo di tuo pugno, Gea: le linee guida del Forum vietano l'utilizzo di immagini in sostituzione del testo, perché si tratta di contenuti che non possono essere indicizzati.
Ringraziano: gea

Intersezioni tra retta e circonferenza e rette tangenti #41694

avt
gea
Punto
ahhh .. ok
mettendo al sistema le due equazioni mi è uscito:

x^2 - (-x-2)^2 -2x +4(-x-2)-8=0
y=-x-2


x^2 + x^2 +4 -4x -2x -4x -8 -8=0
Y=-x-2


2x^2 - 10x -12=0
y=-x-2


\delta = 13
x1= 6
x2=-1

Re: Intersezioni tra retta e circonferenza e rette tangenti #41705

avt
Omega
Amministratore
Purtroppo l'errore è proprio in partenza, perché non c'è alcun meno davanti al secondo addendo

x^2 - (-x-2)^2 -2x +4(-x-2)-8=0
y=-x-2

x^2 + x^2 +4 -4x -2x -4x -8 -8=0
Y=-x-2


Il sistema è

\begin{cases}x^2 + (-x-2)^2 -2x +4(-x-2)-8=0\\ y=-x-2\end{cases}

ottieni

\begin{cases}x^2 + (x^2+4x+4) -2x +4(-x-2)-8=0\\ y=-x-2\end{cases}

e dunque

\begin{cases}x^2 + x^2+4x+4 -2x -4x-8-8=0\\ y=-x-2\end{cases}

\begin{cases}2x^2-2x-12=0\\ y=-x-2\end{cases}

L'equazione di secondo grado è

x^2-x-6=0

e ammette come soluzioni

x=+3\mbox{, }x=-2

cui corrispondono le ordinate

y=-5\mbox{, }y=0

I punti di intersezione tra retta e circonferenza sono

(+3,-5),(-2,0) emt
Ringraziano: Pi Greco

Re: Intersezioni tra retta e circonferenza e rette tangenti #41710

avt
gea
Punto
ohhhhhh grazie mille emt adexo vado avanti con il resto emt
Ringraziano: Omega
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Os