Fascio di rette proprio tangenti ad una circonferenza e calcolo dell'area

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Fascio di rette proprio tangenti ad una circonferenza e calcolo dell'area #41455

avt
JOSE
Punto
Salve a tutti, mi chiedevo se mi potete aiutare nel risolvere questo esercizio sulle rette di un fascio tangenti ad una circonferenza:

in un piano cartesiano Oxy determinate l'equazione della circonferenza centrata in C(0,1) e passante per (1,1). Consideriamo il fascio proprio di rette centrato in D(0,-2) e troviamo le due rette tangenti alla circonferenza. Siano A e B i due punti di tangenza. Determinare l'area del triangolo ABD.

Un grazie in anticipo!
Ringraziano: DAVIDE86
 
 

Re: Fascio di rette proprio tangenti ad una circonferenza e calcolo dell'area #41480

avt
Omega
Amministratore
Ciao José emt

Per prima cosa determina l'equazione della circonferenza, a partire da

(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2

dove (x_C,y_C) è il centro e r il raggio.

La misura del raggio la puoi calcolare con la formula per la distanza tra due punti nel piano, prendendo il punto P=(1,1)

r=dist(P,C)=\sqrt{(x_P-x_C)^2+(y_P-y_C)^2}

A questo punto puoi scrivere l'equazione del fascio proprio di rette avente centro in D:

y-y_D=m(x-x_D)

dove m\in\mathbb{R} è un parametro reale, e tale deve rimanere, almeno per il momento.

Per determinare le rette tangenti alla circonferenza, considera il sistema dato dall'equazione della circonferenza e dall'equazione del fascio: la prima è un'equazione specifica, già determinata, la seconda è un'equazione parametrica

\begin{cases}\mbox{Eq. circonferenza}\\ \mbox{Eq. fascio di rette}\end{cases}

Ricava l'espressione di y in termini di m,x nell'equazione del fascio. Sostituisci tale espressione nell'equazione della circonferenza, che diventa così un'equazione parametrica con variabile x.

La condizione di tangenza è data dall'annullamento del delta di tale equazione di secondo grado. Tale delta dipenderà da m

\Delta(m)=0

Risolvendo l'equazione del Delta nullo troverai due valori di m, che individuano le due rette del fascio y-y_D=m(x-x_D) tangenti alla circonferenza.

Per quanto riguarda l'area del triangolo ABD hai diversi modi di procedere. Un modo consiste nel calcolare le misure dei lati AB,BD,AD con le formule per la distanza tra due punti e applicare la formula di Erone. emt
Ringraziano: Pi Greco, JOSE

Re: Fascio di rette proprio tangenti ad una circonferenza e calcolo dell'area #41496

avt
JOSE
Punto
Omega,
sei stato molto gentile.

Un grande grazie.
Ringraziano: Omega
  • Pagina:
  • 1
Os