Tangenti in comune tra due circonferenze

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Tangenti in comune tra due circonferenze #41048

avt
JOSE
Punto
Ciao a tutti, potreste aiutarmi a risolvere questo problema sul calcolo delle rette tangenti comuni a 2 circonferenze?

Determinare le equazioni delle 4 rette tangenti alle seguenti circonferenze:

c_1: \left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2= 1

e

c_2: \left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2 = 2

Grazie!
 
 

Tangenti in comune tra due circonferenze #41059

avt
Omega
Amministratore
Ciao Jose emt

Per determinare le quattro rette tangenti individuiamo prima di tutto i centri delle due circonferenze, e i rispettivi raggi

\Gamma_1\mbox{: }C_1=(1,-2)\mbox{, }r_1=1

\Gamma_2\mbox{: }C_2=(1,+2)\mbox{, }r_2=\sqrt{2}

Scriviamo l'equazione della retta in forma esplicita

y=mx+q

e imponiamo che tale generica retta disti r_1=1 da C_1 e r_2=1 da C_2. Ci basta ricordare la formula per la distanza di un punto da una retta, e risolvere il sistema

\begin{cases}\frac{|-2-(m+q)|}{\sqrt{1+m^2}}=1\\ \frac{|+2-(m+q)|}{\sqrt{1+m^2}}=\sqrt{2}\end{cases}

Risolvendo il sistema trovi le rette cercate, fammi sapere se ci riesci. emt
Ringraziano: Pi Greco, JOSE

Re: Tangenti in comune tra due circonferenze #41153

avt
JOSE
Punto
Grazie Omega,
ho tardato a risponderti perché ho provato a risolvere il sistema portando a secondo membro la radice del denominatore di entrambe equazioni e poi ho elevato entrambi membri al quadrato ma comunque non ci sono riuscito a risolverlo.

Re: Tangenti in comune tra due circonferenze #41181

avt
Omega
Amministratore
Puoi procedere così: dal sistema

\begin{cases}\frac{|-2-(m+q)|}{\sqrt{1+m^2}}=1\\ \frac{|+2-(m+q)|}{\sqrt{1+m^2}}=\sqrt{2}\end{cases}

ricaviamo altri sistemi in cui eliminiamo il valore assoluto nelle due equazioni. Per farlo, dobbiamo specificare il segno degli argomenti.

Prima di tutto, osserviamo che possiamo riscrivere

\begin{cases}\frac{|-2-(m+q)|}{\sqrt{1+m^2}}=1\\ \frac{|+2-(m+q)|}{\sqrt{1+m^2}}=\sqrt{2}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}|-2-(m+q)|=\sqrt{1+m^2}\\ |2-(m+q)|=\sqrt{2}|-2-(m+q)|\end{cases}

dopo aver sostituito l'espressione di \sqrt{1+m^2} ricavata dalla prima equazione del primo sistema.

Passiamo a tre sistemi:

\begin{cases}m+q\geq -2\\ m+q\geq 2\\ -2-(m+q)=\sqrt{1+m^2}\\ 2-(m+q)=\sqrt{2}[-2-(m+q)]\end{cases}

\begin{cases}m+q\geq -2\\ m+q<2\\ -[-2-(m+q)]=\sqrt{1+m^2}\\ 2-(m+q)=\sqrt{2}[-(-2-(m+q))]\end{cases}

\begin{cases}m+q< -2\\ m+q<2\\ -[-2-(m+q)]=\sqrt{1+m^2}\\ -[2-(m+q)]=\sqrt{2}[-(-2-(m+q))]\end{cases}

Puoi risolvere ognuno dei tre sistemi ricavando q in funzione di m dall'ultima equazione e sostituendo le corrispondenti espressioni nella penultima equazione. Le soluzioni trovate devono poi soddisfare le prime due disequazioni presenti nel relativo sistema. emt
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, JOSE

Re: Tangenti in comune tra due circonferenze #41216

avt
JOSE
Punto
Grazie Omega,
non avevo proprio pensato a riscrivere la seconda equazione in quella forma.

Sei stato gentilissimo.
Ringraziano: Omega

Re: Tangenti in comune tra due circonferenze #41244

avt
Omega
Amministratore
Di niente! emt
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Os