Lunghezza di una corda intercettata da una retta

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Lunghezza di una corda intercettata da una retta #40945

avt
gea
Punto
Buona domenica a tutti, sono rimasta bloccata con un problema di Geometria Analitica: dice di determinare la lunghezza della corda intercettata dalla retta x+2y+2=0 sulla circonferenza di equazione x^2+y^2+2x+2y=0, e di calcolare l'area del triangolo avente per vertici i punti di intersezione e l'origine degli assi.

Il risultato è AB=\frac{6}{5}\sqrt{5}, mentre l'area è pari a \frac{6}{5}.

Non so proprio come cominciare...Grazie mille a chi mi darà una mano!
 
 

Lunghezza di una corda intercettata da una retta #40953

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao gea,

ti mostro come rispondere al quesito seguendo il seguente grafico

problemageometrico_ifrit

Per prima cosa determiniamo le caratteristiche della circonferenza di equazione:

x^2+y^2+2x+2y=0

Le coordinate del centro sono:

A(-1,-1)

mentre il raggio è:

r= \sqrt{1+1}= \sqrt{2}

(per ricavarli basta usare le formule che trovi nella pagina del precedente link).

Per calcolare la lunghezza della corda facciamo intervenire il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo AHB, osservando che:

AH rappresenta la distanza tra il centro A e la retta x+2y+2=0 e vale:

AH= \frac{|-1-2+2|}{\sqrt{1+4}}= \frac{1}{\sqrt{5}}

(dove ho utilizzato la formula della distanza retta- punto)

AB è il raggio della circonferenza e vale \sqrt{2}.

Per il teorema di Pitagora abbiamo che:

BH= \sqrt{AB^2-AH^2}= \sqrt{2-\frac{1}{5}}=\sqrt{\frac{9}{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}

La corda BC ha lunghezza 2 BH:

BC= 2BH= \frac{6}{\sqrt{5}}

Per determinare l'area del triangolo BCD, calcoliamo l'altezza relativa al lato BC, cioè dobbiamo calcolare la distanza tra la retta e il punto D che è l'origine degli assi:

h= \frac{|2|}{\sqrt{5}}= \frac{2}{\sqrt{5}}

La base del triangolo è praticamente la corda BC di cui conosciamo la lunghezza.

L'area del triangolo è quindi:

A= \frac{BC\times h}{2}= \frac{\frac{6}{\sqrt{5}}\times \frac{2}{\sqrt{5}}}{2}=\frac{6}{5}

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Re: Lunghezza di una corda intercettata da una retta #40991

avt
gea
Punto
Grazie mille!
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Os