Equazione della circonferenza con due punti e il raggio

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Equazione della circonferenza con due punti e il raggio #40003

avt
gea
Punto
Ciao, ho un problema di Geometria che non so come risolvere, devo determinare l'equazione della circonferenza a partire da due punti a un raggio...

Dice di determinare l'equazione della circonferenza passante per i punti O(0,0),\ A(2,2) e avendo raggio uguale a \sqrt{10}.

Il risultato è: due circonferenze x^2 + y^2 -6x + 2y= 0,\ x^2 + y^2 + 2x - 6y = 0.

Grazie mille a chi mi aiuterà...
 
 

Equazione della circonferenza con due punti e il raggio #40014

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Gea!

Mi raccomando, tieni a portata di mano il formulario sulla circonferenza.

L'equazione della circonferenza è:

\Gamma:x^2+y^2+a x+ b y+c=0

Imponiamo il passaggio della circonferenza per il punto (0,0)

(0,0)\in\Gamma\iff c=0 <=== Prima condizione

e per il punto (2,2)

(2,2)\in\Gamma\iff 2 a+2b+c+8=0 <=== Seconda condizione.

Adesso imponiamo la condizione sul raggio, facendo riferimento alla formula

\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2-c}= \sqrt{10}

elevando al quadrato membro a membro:

\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2-c= 10

a^2+b^2-4c= 40

Abbiamo determinato 3 condizioni con le quali potremo trovare a,b,c:

\begin{cases}c=0\\ 2a+2b+c+8=0\\ a^2+b^2-4c= 40\end{cases}

Sostituiamo 0 al posto di c nella seconda e nella terza equazione:

\begin{cases}c=0\\ 2a+2b+8=0\\ a^2+b^2= 40\end{cases}

Dalla seconda equazione otteniamo che:

a=-b-4

Sostituiamo nella terza equazione:

\begin{cases}c=0\\ a=-b-4\\ 2b^2+8b+16= 40\end{cases}

Scriviamo in forma normale l'equazione:

\begin{cases}c=0\\ a=-b-4\\ 2b^2+8b-24= 0\end{cases}

Dall'ultima equazione otterremo due soluzioni, b=-6\vee b=2

Per b=-6 avremo che a= 2 pertanto l'equazione della circonferenza è:

x^2+y^2+2x-6y=0

Per b=2 avremo a=-6 e l'equazione della seconda circonferenza è:

x^2+y^2-6 x+2y=0

Abbiamo finito!
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, peaceandlove

Equazione della circonferenza con due punti e il raggio #40015

avt
gea
Punto
Grazie mille, finalmente l'ho capita!
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Os