Grafico di una circonferenza con valore assoluto

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Grafico di una circonferenza con valore assoluto #39878

avt
JamesMatterson
Punto
Buonasera, scrivo per il grafico di una circonferenza definite da equazioni in cui sono presenti valori assoluti.

La richiesta è molto semplice: si tratta di rappresentare graficamente le circonferenze descritte dalle equazioni proposte che contengono valori assoluti. Per quanto io sia capace di risolvere problemi di questo tipo nel caso in cui nel valore assoluto sia presente solo una variabile (o siano presenti più valori assoluti, ma sempre con una sola delle due variabili all'interno) mi chiedevo come bisogna procedere nel caso all'interno del valore assoluto siano presenti entrambi le variabili.

Passando ai fatti, quella che mi crea problemi è la seguente:

x^2+y^2-4|x+y|=0

Naturalmente bisogna sciogliere il valore assoluto nel caso in cui l'argomento sia positivo o negativo e poi trovare come l'equazione della circonferenza si modifica: il problema arriva quando devo trasportare il sistema algebrico a livello grafico.

In definitiva la domanda è: come interpreto la condizione x+y>0 o quella x+y<0 a livello grafico per sapere quale parte della rispettiva circonferenza lasciare e quale cancellare?
 
 

Grafico di una circonferenza con valore assoluto #39886

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao JamesMatterson! emt

Vediamo come procedere. Dobbiamo rappresentare il luogo geometrico dei punti del piano cartesiano che soddisfano l'equazione:

x^2+y^2-4|x+y|=0

che, in accordo con la definizione di valore assoluto e in accordo con il metodo per la risoluzione delle equazioni con valore assoluto, equivale all'unione dei sistemi:

\begin{cases}x+y\ge 0\\ x^2+y^2-4(x+y)=0\end{cases}\cup \begin{cases}x+y\le 0\\ x^2+y^2-4(-x -y)=0\end{cases}

Consideriamo il primo sistema.

La prima condizione x+y>0 diventa y>-x dobbiamo prendere in considerazione solo i punti che stanno sopra la retta di equazione y=-x che è la bisettrice del secondo e quarto quadrante.

L'equazione della circonferenza è:

x^2+y^2-4x-4y=0\iff (x-2)^2+(x-2)^2= 8

Rappresenta una circonferenza di centro (2,2) e raggio r= 2\sqrt{2}. Nota che la distanza tra il centro della circonferenza e la retta y=-x coincide con il raggio della circonferenza, conseguentemente la retta è tangente alla circonferenza (nell'origine).

circonferenze1


La parte in blu è fatta di tutti i punti che soddisfano la disequazione y\ge -x


Procediamo allo stesso modo per l'altro sistema, la condizione

y\le -x ci dice che dobbiamo prendere in considerazione i punti che stanno sotto la retta di equazione y=-x. La circonferenza ha equazione:

x^2+y^2-4(-x-y)=0\iff x^2+y^2+4x+4y=0\iff

(x+2)^2+(y+2)^2=8

che è l'equazione della circonferenza di centro (-2,-2) e raggio r_2=2\sqrt{2}

circonferenza2


Mettendo insieme i due grafici otterremo:

circonferenze3
Ringraziano: Omega, Pi Greco, JamesMatterson

Grafico di una circonferenza con valore assoluto #39894

avt
JamesMatterson
Punto
Grazie per la risposta (anche fin troppo esauriente emt )!
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Os