Retta perpendicolare passante per due punti con parametro, esercizio

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Retta perpendicolare passante per due punti con parametro, esercizio #3856

avt
ruben96
Cerchio
Ciao ragazzi, mi aiutereste con un esercizio di Geometria Analitica sul calcolo della retta perpendicolare passante per due punti dipendenti da un parametro? Vi ringrazio!

Trovare per quale valore di k la retta r passante per A(k-3;6) e B(3;-2k+2)
è perpendicolare alla retta s passante per l'origine e per C(-2; -1) e scrivi l'equazione della retta r.

Potete aiutarmi? Grazie!
 
 

Retta perpendicolare passante per due punti con parametro, esercizio #3860

avt
Omega
Amministratore
Ciao Ruben, benvenuto in YouMath! emt

Per risolvere l'esercizio è necessario trovare le equazioni delle due rette utilizzando la formula che permette di determinare l'equazione di una retta passante per due punti , conoscendo le coordinate dei due punti che le appartengono

\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}

Calcoliamo l'equazione della retta passante per A,B:

\frac{y-6}{-2k+2-6}=\frac{x-k+3}{3-k+3}

da cui, svolgendo i calcoli, ricaviamo

y(6-k)=(x-k+3)(-2k-4)

ed infine

y=\frac{-2k-3}{6-k}x+\frac{(-k+3)(-2k-4)}{6-k}

In particolare vediamo che il coefficiente angolare di questo fascio di rette dipende da k ed è dato da

m_r=\frac{-2k-3}{6-k}

Ora calcoliamoci l'equazione della retta passante per O,C:

\frac{y+1}{0+1}=\frac{x+2}{0+2}

da cui

y=\frac{1}{2}x

La condizione di perpendicolarità tra due rette si ottiene imponendo che i coefficienti angolari siano uno il reciproco dell'opposto dell'altro, quindi dobbiamo richiedere che

m_r=-\frac{1}{m_s}

ossia

\frac{-2k-3}{6-k}=-2

Non ci resta che risolvere questa equazione in k. Naturalmente, dobbiamo richiedere che k\neq 6:

-2k-3=-12+2k

4k=9

k=\frac{9}{4}

Sostituendo questo valore di k nell'equazione del fascio di rette si trova la retta r cercata.
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