Retta perpendicolare passante per due punti con parametro, esercizio

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Retta perpendicolare passante per due punti con parametro, esercizio #3856

avt
ruben96
Cerchio
Mi aiutereste con un esercizio di Geometria Analitica sul calcolo della retta perpendicolare passante per due punti dipendenti da un parametro?

Trovare per quale valore di k la retta r passante per A(k-3;6) e B(3;-2k+2) è perpendicolare alla retta s passante per l'origine e per C(-2; -1) e scrivere l'equazione della retta r.

Grazie!
 
 

Retta perpendicolare passante per due punti con parametro, esercizio #3860

avt
Omega
Amministratore
Il problema ci chiede di determinare il valore del parametro k\in\mathbb{R} di modo che la retta r passante per i punti di coordinate

\\ A(x_A,y_A)=(k-3,6) \\ \\ B(x_B,y_B)=(3,-2k+2)

sia perpendicolare alla retta s passante per l'origine O(x_O,y_O)=(0,0) degli assi cartesiani e per il punto

C(x_C,y_C)=(-2,-1)

Il problema si risolve molto velocemente se usiamo la condizione di perpendicolarità tra rette e la formula per il coefficiente angolare di una retta passante per due punti.


Coefficienti angolari delle rette

Calcoliamo il coefficiente angolare della retta r passate per i punti A\ \mbox{e} \ B

m_{r}=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_B-x_A} \ \ \ \mbox{con} \ x_A\ne x_B

Sostituendo le coordinate dei punti A \ \mbox{e} \ B ricaviamo

m_{r}=\frac{-2k+2-6}{3-(k-3)}=\frac{-2k-4}{6-k}\ \ \ \mbox{con} \ k\ne 6

Il coefficiente angolare della retta s, passante per O e per C, è dato da

m_{s}=\frac{y_C-y_O}{x_C-x_O}=\frac{-1-0}{-2-0}=\frac{1}{2}


Condizione di perpendicolarità

Il prossimo passo prevede di usare la condizione di perpendicolarità: le rette r\ \mbox{e} \ s sono tra loro perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è uguale a -1, ossia deve valere l'uguaglianza

m_{r}\cdot m_{s}=-1

vale a dire

\frac{-2k-4}{6-k}\cdot \frac{1}{2}=-1

Abbiamo ottenuto un'equazione fratta di primo grado nell'incognita k\ne 6. Per ricavarne le eventuali soluzioni, raccogliamo -2 al numeratore

\frac{-2(k+2)}{6-k}\cdot\frac{1}{2}=-1

e semplifichiamolo col 2

\frac{-(k+2)}{6-k}=-1

Trasportiamo al primo membro -1, cambiandolo di segno

\frac{-(k+2)}{6-k}+1=0

dopodiché esprimiamo a denominatore comune

\\ \frac{-k-2+6-k}{6-k}=0 \\ \\ \\ \frac{-2k+4}{6-k}=0

Per 6-k\ne 0, ossia per k\ne 6, possiamo moltiplicare i due membri per il denominatore, ottenendo l'equazione equivalente

-2k+4=0

da cui

-2k=-4 \ \ \ \to \ \ \ k=2

Sostituiamo questo valore nelle coordinate dei punti A\ \mbox{e} \ B

\\ A(k-3,6)=(2-3,6)=(-1,6) \\ \\ B(3,-2k+2)=(3,-2\cdot 2+2)=(3,-2)

e infine scriviamo l'equazione della retta r usando la formula

\\ r:\ \frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}\\ \\ \\ \frac{y-6}{-2-6}=\frac{x-(-1)}{3-(-1)}\\ \\ \frac{y-6}{-8}=\frac{x+1}{4}

Scriviamola in forma esplicita isolando y al primo membro

\\ y-6=(-8)\cdot\frac{x+1}{4} \\ \\ \\ y=-2(x+1)+6\\ \\ y=-2x+4

È fatta!
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Os