Problema con parabola e fascio di rette

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#38548
avt
Pina96
Visitatore

Ciao, qualcuno può aiutarmi a risolvere questo problema sulle parabole?

Sono dati la parabola di equazione y= -x^2 +3x - 2 e il fascio proprio di rette di equazione y=mx+2.

Determinare per quale valore di m la retta del fascio soddisfa le seguenti condizioni:

- interseca la parabola nel vertice;

- passa per il fuoco della parabola.

Grazie!

#38554
avt
Ifrit
Amministratore

Ciao Pina96 benvenuta nel forum di YouMath! emt

Abbiamo l'equazione della parabola che chiamiamo γ

γ: y = −x^2+3x−2

e l'equazione del fascio della retta che chiamiamo r

r:y = m x+2

Per prima cosa determiniamo le coordinate del fuoco e le coordinate del vertice della parabola. Ti invito a leggere il formulario che ha per soggetto l'equazione della parabola

Il vertice è:

V(−(b)/(2a),−(Δ)/(4a)) = ((3)/(2),(1)/(4))

Ora imponiamo il passaggio del fascio nel punto V:

(1)/(4) = m·(3)/(2)+2

Risolviamo l'equazione rispetto ad m otterremo che:

m = −(7)/(6)

Quindi l'equazione della retta è:

y = −(7)/(6)x+2

Adesso calcoliamo le coordinate del fuoco della parabola:

F(−(b)/(2a),(1−Δ)/(4a)) = ((3)/(2),0)

Imponiamo il passaggio del fascio nel punto F:

0 = (3)/(2)m+2 ⇒ m = −(4)/(3)

L'equazione della retta passante per F è:

y = −(4)/(3)x+2

Abbiamo determinato le rette del fascio che passano per i punti chiesti dall'esercizio.

Se hai dubbi chiedi pure emt

Ringraziano: Omega, Pi Greco
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