Problema con parabola e fascio di rette

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Problema con parabola e fascio di rette #38548

Pina96 Visitatore	Ciao, qualcuno può aiutarmi a risolvere questo problema sulle parabole? Sono dati la parabola di equazione y= -x^2 +3x - 2 e il fascio proprio di rette di equazione y=mx+2. Determinare per quale valore di m la retta del fascio soddisfa le seguenti condizioni: - interseca la parabola nel vertice; - passa per il fuoco della parabola. Grazie!

Problema con parabola e fascio di rette #38554

Ifrit

Amministratore

Ciao Pina96 benvenuta nel forum di YouMath! emt

Abbiamo l'equazione della parabola che chiamiamo $\gamma$

$\gamma: y= -x^2+3x-2$

e l'equazione del fascio della retta che chiamiamo

Per prima cosa determiniamo le coordinate del fuoco e le coordinate del vertice della parabola. Ti invito a leggere il formulario che ha per soggetto l'equazione della parabola

Il vertice è:

$V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)=\left(\frac{3}{2},\frac{1}{4}\right)$

Ora imponiamo il passaggio del fascio nel punto V:

$\frac{1}{4}= m\cdot \frac{3}{2}+2$

Risolviamo l'equazione rispetto ad m otterremo che:

$m=-\frac{7}{6}$

Quindi l'equazione della retta è:

$y= -\frac{7}{6}x+2$

Adesso calcoliamo le coordinate del fuoco della parabola:

$F\left(-\frac{b}{2a},\frac{1-\Delta}{4a}\right)= \left(\frac{3}{2},0\right)$

Imponiamo il passaggio del fascio nel punto F:

$0= \frac{3}{2}m+2\implies m=-\frac{4}{3}$

L'equazione della retta passante per F è:

$y=-\frac{4}{3}x+2$

Abbiamo determinato le rette del fascio che passano per i punti chiesti dall'esercizio.

Se hai dubbi chiedi pure emt

Ringraziano: Omega, Pi Greco

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