Parabola di un fascio tangente a una retta?

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Parabola di un fascio tangente a una retta? #38295

avt
Hard Core
Punto
Ciao, ho una domanda sulla parabola di un fascio di parabole tangente ad una retta. Ho un equazione di una parabola dipendente da un parametro, tipo y = x^2 + x + c, poi ho una retta tipo y = 3x + 2.

I numeri li ho messi a caso. Voglio trovare l'equazione della parabola tangente alla retta conoscendo il punto di tangenza.

E' possibile una cosa del genere?

Mi spiego meglio. Se ho un fascio di parabole che si differenziano solo per l'intercetta, quindi con termine di primo e secondo grado non parametrici, è possibile trovare la parabola tangente a una retta in un punto qualsiasi? Oppure ce ne sono infinite? A me intuitivamente mi viene da dire che ce n'è solo una...chiedo una mano a voi matematici.
 
 

Re: Parabola di un fascio tangente a una retta? #38303

avt
Omega
Amministratore
Ciao Hard Core emt

In generale per una retta fissata e per un dato fascio di parabole puoi essere certo del numero di parabole tangenti facendo riferimento alla condizione algebrica di tangenza: il discriminante dell'equazione di secondo grado che si ottiene mettendo a sistema l'equazione del fascio con l'equazione della retta deve essere nullo.

Nel nostro caso, tale discriminante dipenderà dal parametro c, e la condizione di annullamento del delta fornirà un'equazione in c. La cardinalità dell'insieme delle soluzioni di tale equazione di secondo grado

\Delta(c)=0

rappresenta proprio il numero di parabole del fascio tangenti alla retta.

\begin{cases}y=x^2+x+c\\ y=3x+2\end{cases}

diventa

x^2+x+c=3x+2

cioè

x^2-2x+(c-2)=0

Calcoliamo il delta

4-4(c-2)=0\to 12-4c=0\to c=3

Vi è dunque una ed una sola parabola del fascio tangente alla retta data, indipendentemente dallo specifico punto di tangenza. emt

Per chi fosse interessato: formulario sulla parabola, posizioni di una retta rispetto ad una parabola.
Ringraziano: Pi Greco, Hard Core, Mattiaa

Re: Parabola di un fascio tangente a una retta? #38326

avt
Hard Core
Punto
Grazie per la risposta. Gentilissimo. Ma si potrebbe risolvere il problema facendo ricorso al calcolo differenziale?

Re: Parabola di un fascio tangente a una retta? #38330

avt
Omega
Amministratore
Certamente, anche se imho equivale a voler spezzare un grissino con un carro armato. emt

Per poterlo fare servono le indicazioni contenute nella lezione sul significato geometrico della derivata di una funzione in un punto e quella sul calcolo della retta tangente al grafico di una funzione in un punto.

L'interpretazione da dare al fascio di parabole, in un'ottica analitica, è quella di funzione parametrica

f_c(x)=x^2+x+c

Conosciamo la retta tangente

y=3x+2

che in forma generale è data da

y-y_0=m(x-x_0)\to y=mx-mx_0+y_0

dove (x_0,y_0) sono le coordinate del punto di tangenza. Calcoliamo la derivata prima della funzione parametrica nell'ascissa del punto di tangenza

f_c'(x_0)=2x_0+1

che è proprio il valore del coefficiente angolare della nostra retta tangente, quindi 2x_0+1=m=3\to x_0=1.

La retta tangente da un lato è

y=3x-3x_0+y_0\to y=3x-3+y_0

dall'altro è

y=3x+2

per cui deve necessariamente essere y_0-3=2\to y_0=5.

Nel punto di tangenza le ordinate della funzione e della retta si equivalgono

f_c(x_0)=y_0

ossia

1+1+c=5

da cui c=3.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Hard Core

Re: Parabola di un fascio tangente a una retta? #38508

avt
Hard Core
Punto
Grazie mille Omega ... sei stato precisissimo ... Grzie ancora
Ringraziano: Omega
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Os