Trasformazione di un'iperbole, omotetia e isometria

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Trasformazione di un'iperbole, omotetia e isometria #37373

avt
tappo
Punto
Salve, non riesco a risolvere questo problema sulla trasformazione delle coniche, in particolare sulla trasformazione di un'iperbole.

C'è qualcuno che è in grado di aiutarmi?

a) È data l'iperbole y=\frac{k}{x}. Determina il valore del parametro k tale che la trasformata rispetto all'affinità di equazioni

\begin{cases}x'=x+y\\ y'=-x+y\end{cases}

sia una iperbole equilatera con vertici nei punti (0;\pm 2).

b) Studia le caratteristiche della trasformazione assegnata osservando come viene trasformato il quadrato di vertici (0;0),\ (1;0),\ (1;1),\ (0;1).

c) Determina l'omotetia e l'isometria la cui composizione permette di ottenere la trasformazione assegnata.
 
 

Trasformazione di un'iperbole, omotetia e isometria #37381

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao tappo!

Vediamo come procedere. Abbiamo l'equazione:

y=\frac{k}{x}

Consideriamo la trasformazione:

\begin{cases}x'= x+y\\ y'=-x+y\end{cases}

Troviamo la trasformazione inversa: risolvendo il sistema rispetto alle variabili x,y:

x= \frac{x'-y'}{2}, y= \frac{x'+y'}{2}

Sostituendo nella equazione dell'iperbole:

\frac{x'+y'}{2}=\frac{k}{\frac{x'-y'}{2}}

Da cui:

\frac{x'^2-y'^2-4k}{2(x'-y')}=0

se e solo se

x'^2-y'^2-4k=0

Dobbiamo richiedere che l'iperbole equilatera passi per il punto (0,\pm 2):

-4-4k=0\iff 1+k=0\iff k=-1

Abbiamo determinato k. L'equazione dell'iperbole è:

y=-\frac{1}{x}


b) Vediamo come viene trasformato il quadrato, o meglio i suoi vertici:

\\ A(0,0)\longrightarrow A'(0,0)\\ \\ B(1,0)\longrightarrow B'(1+0, -1+0)=(1,-1)\\ \\ C(1,1)\longrightarrow C'(1+1, -1+1)=(2,0)\\ \\ D(0,1)\longrightarrow D'(0+1, 0+1)=(1,1)

Disegnando i due quadrati, ci accorgiamo che la trasformazione proposta dall'esercizio è una composizione tra una omotetia ed una rotazione.

Possiamo determinare l'angolo della rotazione considerando le rette passante per due punti non trasformati, ad esempio A(0,0), B(1,0) e due i due punti trasformati A'(0,0) B'(1,-1)

r_{AB}: y=0 con coefficiente angolare 0

r_{A'B'}: x+y=0 con coefficiente angolare -1

L'angolo di rotazione \alpha è tale che

\tan(\alpha)= \frac{m_{r_{A'B'}}-m_{r_{A B}}}{1+m_{r_{AB}}m_{r_{A'B'}}}=-1\iff \alpha=-\frac{\pi}{4}

Abbiamo quindi una rotazione oraria, di angolo \frac{\pi}{4}.

Adesso determiniamo il coefficiente di dilatazione. La cosa furba sarebbe quella di determinare la distanza tra due punti non trasformati e due punti trasformati:

\overline{AB}= 1

mentre:

\overline{A'B'}= \sqrt{2}

Il coefficiente di dilatazione è dato dal rapporto tra le due quantità:

\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}= \sqrt{2}

Queste informazioni ci permettono di costruire le matrici che rappresentano le trasformazioni:

R_{\theta}=\left[\begin{matrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{matrix}\right]\implies R_{-\frac{\pi}{4}}=\left[\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right]

mentre la matrice dell'omotetia è:

O_h=\left[\begin{matrix} h & 0 \\ 0 & h \end{matrix}\right]

dove h=\sqrt{2}.

O_{\sqrt{2}}=\left[\begin{matrix} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \end{matrix}\right]
Ringraziano: Omega
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Os