Problema sui fasci di circonferenze

Salve, potreste aiutarmi a svolgere questo problema sui fasci di circonferenze? Grazie in anticipo

Scrivere l'equazione della circonferenza del fascio:



a) passante per il punto ;
b) tangente all'asse ;
c) di raggio ;
d) tangente alla retta ;
e) tangente alla retta

Determina infine gli eventuali punti base, l'equazione dell'asse radicale e dell'asse centrale.

Ciao Panzerotta

Per risolvere l'esercizio è fondamentale avere ben presente la corrispondenza tra le condizioni algebriche e le rispettive interpretazioni geometriche, e...fare attenzione a non commettere errori di distrazione nei calcoli.

Disponi dell'equazione di un fascio di circonferenze, e devi:

1) trovare la circonferenza passante per il punto

-> sostituisci nell'equazione del fascio e risolvi la corrispondente equazione in . Le soluzioni di tale equazione individuano le circonferenze richieste.

2) tangente all'asse

-> l'asse delle ascisse ha equazione , dunque puoi mettere a sistema l'equazione del fascio e quella dell'asse



ricavarne un'equazione di secondo grado in e imporre che il delta di tale equazione sia nullo (è proprio la condizione di tangenza). La condizione di annullamento del discriminante equivale ad un'equazione in , e le soluzioni di tale equazione individuano le circonferenze cercate.

3) di raggio

-> sviluppa i conti nell'equazione del fascio, fino a portarla alla forma canonica dell'equazione della circonferenza, dopodiché applica la formula per il calcolo del raggio (trovi tutto nel formulario del link) e imponi che la misura del raggio sia pari a . A questo punto hai un'equazione in ...

4) tangente alla retta

-> svolgimento del tutto analogo a quello del punto 2).

5) tangente alla retta

-> devi esprimere l'equazione della retta in forma esplicita, cioè come



dopodiché il procedimento è del tutto analogo a quello del punto 2).

---

Infine, per quanto concerne lo studio del fascio di circonferenze

PUNTI BASE: sono per definizione i punti in comune a tutte le circonferenze del fascio. Per determinarli puoi assegnare due valori arbitrari al parametro , diciamo , e mettere a sistema le due circonferenze che ne risultano



ASSE RADICALE: è l'asse passante per i punti base del fascio di circonferenze, dunque avendo calcolato i punti base puoi determinarne l'equazione con la solita formula per l'equazione della retta passante per due punti.

Edit: dimenticavo l'ASSE CENTRALE, che è per definizione la retta passante per i centri del fascio di circonferenze (è definito nel caso di fasci di circonferenze non concentriche, che è poi il caso dell'esercizio).

Determina i centri delle due circonferenze scritte prima per . Trovi tutte le indicazioni nel formulario sulla circonferenza, ma ad ogni modo per determinare le coordinate dei due centri puoi riscrivere le due equazioni nella forma



mediante il completamento del quadrato in . A questo punto puoi calcolare l'equazione della retta passante per i due centri, che sarà proprio l'equazione dell'asse centrale.

Ciao Panzerotta

Per prima cosa imponiamo il passaggio nel punto , sostituiamo le coordinate nell'equazione del fascio:



Sommiamo i termini simili:



L'equazione della circonferenza è dunque:





Punto b)

Imponiamo il sistema tra l'equazione del fascio e l'equazione dell'asse X



L'equazione risolvente è:



Calcoliamo il discriminante associato:



ed imponiamo la condizione di tangenza:



L'equazione è:





c) Per , l'equazione della circonferenza è:




Il raggio della circonferenza è dato dalla formula:



Eleviamo al quadrato membro a membro:




Portando al primo membro 4 e facendo un po' di conti otterremo l'equazione:



In tal caso l'equazione della circonferenza è:




Tutto chiaro fino a qui?, controlla i conti

Ciao

E' sottinteso che il fascio di circonferenze ha significato solo se:



altrimenti si avrebbe la retta di equazione .

a)
Applichiamo la condizione di appartenenza di A(1; 1) al fascio di circonferenze, ottenendo:



cioè:

,

che corrisponde all'equazione della circonferenza (sostituendo tale valore di k nell'equazione del fascio):



b)
Per selezionare la circonferenza tangente all'asse x, osserviamo che tale circonferenza dovrà avere il modulo dell'ordinata del suo centro pari al suo raggio.
Pertanto, essendo:



e



allora:



cioè:





a cui corrisponde l'equazione della circonferenza:



c)
Basta imporre r = 2, cioè:



cioè:







d)
Similmente al caso b), imponiamo la tangenza alla retta data, eguagliando la distanza dalla retta del centro del fascio al raggio generico di esso, cioè, elevando al quadrato membro a membro:



ovvero:



riducendo i termini simili e poi eliminando il denominatore:



che è lo sviluppo di un binomio al quadrato:





Ad esso corrisponde la circonferenza del fascio di equazione:

.

e)
Per la tangente alla retta di equazione puoi procedere in modo del tutto simile.

Disponibile a chiarimenti, ti saluto.