Problema sui fasci di circonferenze

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Problema sui fasci di circonferenze #37032

avt
Panzerotta
Punto
Salve, potreste aiutarmi a svolgere questo problema sui fasci di circonferenze? Grazie in anticipo emt

Scrivere l'equazione della circonferenza del fascio:

(1+K)x^2+ (1+K)y^2+(1+4K)x - 6y= 0

a) passante per il punto A(1;1);
b) tangente all'asse x;
c) di raggio r=2;
d) tangente alla retta s:\ x-6y=0;
e) tangente alla retta t:\ 3x + 13 - 2y=0

Determina infine gli eventuali punti base, l'equazione dell'asse radicale e dell'asse centrale.
 
 

Re: Problema sui fasci di circonferenze #37068

avt
Omega
Amministratore
Ciao Panzerotta emt

Per risolvere l'esercizio è fondamentale avere ben presente la corrispondenza tra le condizioni algebriche e le rispettive interpretazioni geometriche, e...fare attenzione a non commettere errori di distrazione nei calcoli. emt

Disponi dell'equazione di un fascio di circonferenze, e devi:

1) trovare la circonferenza passante per il punto A=(1,1)

-> sostituisci x=1,y=1 nell'equazione del fascio e risolvi la corrispondente equazione in k. Le soluzioni di tale equazione individuano le circonferenze richieste.

2) tangente all'asse x

-> l'asse delle ascisse ha equazione y=0, dunque puoi mettere a sistema l'equazione del fascio e quella dell'asse

\begin{cases}(1+K)x^2+ (1+K)y^2+(1+4K)x - 6y= 0\\ y=0\end{cases}

ricavarne un'equazione di secondo grado in x e imporre che il delta di tale equazione sia nullo (è proprio la condizione di tangenza). La condizione di annullamento del discriminante equivale ad un'equazione in k, e le soluzioni di tale equazione individuano le circonferenze cercate.

3) di raggio r=2

-> sviluppa i conti nell'equazione del fascio, fino a portarla alla forma canonica dell'equazione della circonferenza, dopodiché applica la formula per il calcolo del raggio (trovi tutto nel formulario del link) e imponi che la misura del raggio sia pari a 2. A questo punto hai un'equazione in k...

4) tangente alla retta x=6y

-> svolgimento del tutto analogo a quello del punto 2).

5) tangente alla retta 3x+13-2y=0

-> devi esprimere l'equazione della retta in forma esplicita, cioè come

y=\frac{3}{2}x+\frac{13}{2}

dopodiché il procedimento è del tutto analogo a quello del punto 2).

---

Infine, per quanto concerne lo studio del fascio di circonferenze

PUNTI BASE: sono per definizione i punti in comune a tutte le circonferenze del fascio. Per determinarli puoi assegnare due valori arbitrari al parametro k, diciamo k=0,k=1, e mettere a sistema le due circonferenze che ne risultano

\begin{cases}x^2+y^2+x-6y=0\\ 2x^2+2y^2+5x-6y=0\end{cases}

ASSE RADICALE: è l'asse passante per i punti base del fascio di circonferenze, dunque avendo calcolato i punti base puoi determinarne l'equazione con la solita formula per l'equazione della retta passante per due punti.

Edit: dimenticavo l'ASSE CENTRALE, che è per definizione la retta passante per i centri del fascio di circonferenze (è definito nel caso di fasci di circonferenze non concentriche, che è poi il caso dell'esercizio).

Determina i centri delle due circonferenze scritte prima per k=0,k=1. Trovi tutte le indicazioni nel formulario sulla circonferenza, ma ad ogni modo per determinare le coordinate dei due centri puoi riscrivere le due equazioni nella forma

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2

mediante il completamento del quadrato in x. A questo punto puoi calcolare l'equazione della retta passante per i due centri, che sarà proprio l'equazione dell'asse centrale. emt
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Ifrit, Panzerotta

Re: Problema sui fasci di circonferenze #37069

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Panzerotta emt

Per prima cosa imponiamo il passaggio nel punto A(1,1), sostituiamo le coordinate nell'equazione del fascio:

(1+k)+(1+k)+(1+4k)-6=0

Sommiamo i termini simili:

6k-3=0\iff k= \frac{1}{2}

L'equazione della circonferenza è dunque:

\frac{3}{2}(x^2+y^2+2x-4y)=0\iff x^2+y^2+2x-4y=0



Punto b)

Imponiamo il sistema tra l'equazione del fascio e l'equazione dell'asse X

\begin{cases}(1+k)x^2+(1+k)y^2+(1+4k)x-6y=0\\ y=0\end{cases}

L'equazione risolvente è:

(1+k)x^2+(1+4k)x=0

Calcoliamo il discriminante associato:

\Delta= (1+4k)^2

ed imponiamo la condizione di tangenza:

\Delta=0\iff (1+4k)^2=0\iff k=-\frac{1}{4}

L'equazione è:

\frac{3}{4}(x^2-8y+y^2)=0\iff

x^2+y^2-8y=0

c) Per k\ne -1, l'equazione della circonferenza è:

x^2+y^2+\frac{1+4k}{1+k}x-\frac{6}{1+k} y=0


Il raggio della circonferenza è dato dalla formula:

r=\sqrt{\left(\frac{1+4k}{2(1+k)}\right)^2+\left(\frac{6}{2(1+k)}\right)^2}=2

Eleviamo al quadrato membro a membro:

\left(\frac{1+4k}{2(1+k)}\right)^2+\left(\frac{6}{2(1+k)}\right)^2=4


Portando al primo membro 4 e facendo un po' di conti otterremo l'equazione:

\frac{3(8k-7)}{4(k+1)^2}=0\iff 8k-7=0\iff k= \frac{7}{8}

In tal caso l'equazione della circonferenza è:

5x^2+5y^2+12 x-16 y=0


Tutto chiaro fino a qui?, controlla i conti emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Panzerotta

Re: Problema sui fasci di circonferenze #37166

avt
Bruno
Punto
Ciao emt

E' sottinteso che il fascio di circonferenze ha significato solo se:

k \neq -1

altrimenti si avrebbe la retta di equazione x+2y=0.

a)
Applichiamo la condizione di appartenenza di A(1; 1) al fascio di circonferenze, ottenendo:

(1+k)+(1+k) + (1+4k) - 6 = 0

cioè:

k = 1/2,

che corrisponde all'equazione della circonferenza (sostituendo tale valore di k nell'equazione del fascio):

x^2+y^2+2x-4y=0.

b)
Per selezionare la circonferenza tangente all'asse x, osserviamo che tale circonferenza dovrà avere il modulo dell'ordinata del suo centro pari al suo raggio.
Pertanto, essendo:

r=\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1+4k}{1+k}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)\left({\frac{6}{1+k}\right)^2}

e

|yC| = \left|\frac{3}{1+k}\right|,

allora:

\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1+4k}{1+k}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)}\left({\frac{6}{1+k}\right)^2=\left(\frac{3}{1+k}\right)^2

cioè:

(1+4k)^2 + 36 = 36

k=-\frac{1}{4}

a cui corrisponde l'equazione della circonferenza:

x^2+y^2-8y=0

c)
Basta imporre r = 2, cioè:

r=\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1+4k}{1+k}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)\left({\frac{6}{1+k}\right)^2}= 2

cioè:

\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1+4k}{1+k}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)}\left({\frac{6}{1+k}\right)^2= 4

1+8k+36=16+32k

k=\frac{7}{8}

d)
Similmente al caso b), imponiamo la tangenza alla retta data, eguagliando la distanza dalla retta del centro del fascio al raggio generico di esso, cioè, elevando al quadrato membro a membro:

\left(\frac{1}{37}\right)\left[\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1+4k}{1+k}\right)-3\left(\frac{6}{1+k} \right) \right]^2=\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1+4k}{1+k}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)}\left({\frac{6}{1+k}\right)^2

ovvero:

\left(\frac{1}{4}\right)\frac{(1+4k)^2}{(1+k)^2}{}+9\frac{36}{(1+k)^2}+\frac{18(1+4k)}{(1+k)^2}=\left(\frac{37}{4}\right)\frac{(1+4k)^2}{(1+k)^2}\right)+\left(\frac{37}{4}\right)\frac{36}\left({1+k}\right)^2

riducendo i termini simili e poi eliminando il denominatore:

(1+4k)^2-2(1+4k)+1 = 0

che è lo sviluppo di un binomio al quadrato:

(1 + 4k - 1)^2 = 0

k = 0.

Ad esso corrisponde la circonferenza del fascio di equazione:

x^2 + y^2 + x - 6y = 0.

e)
Per la tangente alla retta di equazione 3x + 13 - 2y = 0\; puoi procedere in modo del tutto simile.

Disponibile a chiarimenti, ti saluto. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os