Luogo geometrico con coordinate parametriche

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Luogo geometrico con coordinate parametriche #35617

avt
littlerabb94
Punto
Ciao a tutti, avrei un problema da sottoporvi sullo studio di un luogo geometrico definito da coordinate parametriche. Ringrazio intanto tutti coloro che risponderanno...

Vorrei sapere per favore come calcolarlo e vorrei anche che qualcuno gentilmente potesse spiegarmi come calcolare i luoghi geometrici in generale, grazie tante:

Indicato con P un punto del piano di coordinate (t+ 1/t ; t- 1/t ) , P descrive, al variare di t (t ≠ 0), un luogo geometrico del quale si chiede l’equazione cartesiana e il grafico.

Grazie in anticipo
 
 

Luogo geometrico con coordinate parametriche #35628

avt
Ifrit
Ambasciatore
Hello littlerabb94 emt

Abbiamo un punto di coordinate:

\left(t+\frac{1}{t}, t-\frac{1}{t}\right)\qquad t\ne 0

Chiamiamo x= t+\frac{1}{t} e y= t-\frac{1}{t}

Da ciò segue che:

x+y=t+\frac{1}{t}+  t-\frac{1}{t}=2t

Da cui otteniamo che: t= \frac{x+y}{2}

e

x-y= \frac{2}{t}= \frac{2}{\frac{x+y}{2}}= \frac{4}{x+y}


Moltiplicando membro a membro per x+y otteniamo:

(x+y)(x-y)= 4

Effettuiamo il prodotto somma per differenza:

x^2-y^2=4

Quest'ultima è l'equazione dell'iperbole centrata in (0,0) e vertici reali (\pm 2, 0)

Il grafico è:


iperbole_2012 10 16
Ringraziano: Omega, Pi Greco, littlerabb94, CarFaby

Luogo geometrico con coordinate parametriche #35631

avt
littlerabb94
Punto
grazie mille!

Luogo geometrico con coordinate parametriche #35632

avt
Danni
Sfera
Ciao emt

Il punto P ha coordinate

P\left(\frac{t^2 + 1}{t};\frac{t^2 - 1}{t}\right )

con

t \neq 0

x = \frac{t^2 + 1}{t}

y = \frac{t^2 - 1}{t}

La somma delle coordinate dà

x + y = \frac{t^2 + 1 + t^2 - 1}{t} = 2t

da cui

t = \frac{x + y}{2}

La loro differenza dà

x - y = \frac{t^2 + 1 - t^2 + 1}{t} = \frac{2}{t}

Risulta quindi

x - y = \frac{4}{x + y}

ovvero

(x + y)(x - y) = 4

L'equazione del luogo richiesto rapprenta analiticamente un'iperbole riferita al centro e agli assi:

x^2 - y^2 = 4

L'equazione canonica è

\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 1

Per quanto riguarda la determinazione dei luoghi geometrici, non esistono regole standard ma l'impostazione dell'equazione dipende dalle condizioni richieste da ogni problema.

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os