Equazione della circonferenza con variabile

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#35474
avt
Lorenzomag1980
Punto
Salve! Volevo chiedervi come risolvere questo quesito di geometria analitica da terzo liceo scientifico sulla circonferenza!

L'esercizio richiede per quali valori di a l'equazione
(a^(2)-10a)x^(2)+(a-28)y^(2)-2x-3y-5 = 0

rappresenta una circonferenza.

Per quello che ho studiato, i coefficienti di x^(2) e y^(2) devono essere uguali a 1 per far sì che l'equazione rappresenti una cirfonferenza; purtroppo, però non so proseguire con il mio ragionamento. Ciò mi fa pensare che forse è sbagliato il mio punto di partenza. Potreste aiutarmi?
#35487
avt
Danni
Sfera
Ciao Loremzomag emt

Nell'equazione canonica i coefficienti dei termini quadrati devono essere unitari, ma se l'equazione non è in forma canonica basta che siano uguali.
Così, con le condizioni

a ≠ 0 ∧ a ≠ 10 ∧ a ≠ 28 imponi

a^2-10a = a-28

a^2-11a+28 = 0

(a-4)(a-7) = 0

Nell'equazione deve inoltre mancare il termine rettangolare xy e qui non c'è.

Ora però devi verificare che i raggi delle due circonferenze non siano negativi.

La prima circonferenza per a = 4 ha equazione

24x^2+24y^2+2x+3y+5 = 0

che in forma canonica è

x^2+y^2+(x)/(12)+(y)/(8)+(5)/(24) = 0

Il raggio però è decisamente negativo e la circonferenza non è reale.

Per a = 7 la seconda circonferenza ha equazione

21x^2+21y^2+2x+3y+5 = 0

x^2+y^2+(2)/(21)x+(y)/(7)+(5)/(21) = 0

e anche in questo caso il raggio è negativo.
Nessun valore di a risolve il problema.

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit
#35489
avt
Ifrit
Amministratore
Ciao lorenzomag1980, benvenuto su YouMath emt

L'equazione che ci proponi è una circonferenza se e solo se rispetta due condizioni:

1) I coefficienti di x^2 e di y^2 devono essere uguali

2) Il quadrato del raggio della circonferenza deve essere maggiore (o uguale) a 0 (se è uguale hai una circonferenza degenere)


La prima condizione si traduce matematicamente nella seguente equazione:

a^2-10a (coeff x^2) = a-28 (coeff y^2)

Risolvendo l'equazione otterremo a = 4 ∨ a = 7

Per a = 4 l'equazione diventa:

-24x^2-24 y^2-2x-3y-5 = 0

Dividiamo membro a membro per - 24, così da scrivere l'equazione della circonferenza in modo canonico:

x^2+y^2+(2)/(24)x+(3)/(24)y+(5)/(24) = 0

Semplificando:

x^2+y^2+(1)/(12)x+(1)/(8)y+(5)/(24) = 0

Il quadrato del raggio è dato da:

(((1)/(12))/(2))^2+(((1)/(8))/(2))^2-(5)/(24) = -(467)/(2304) < 0

Il quadrato del raggio è negativo quindi per a=4 non abbiamo la circonferenza.

Procediamo allo stesso modo per a = 7, l'equazione si scrive come:

-21x^2-21 y^2-2x-3y-5 = 0

Dividiamo membro a membro per -21:

x^2+y^2+(2)/(21)x+(3)/(21)y+(5)/(21) = 0

Il raggio al quadrato è dato da:

(((2)/(21))/(2))^2+(((3)/(21))/(2))^2-(5)/(21) = -(709)/(3528) < 0

Anche in questo caso il raggio è negativo. In definitiva, non abbiamo circonferenze per alcun valore di a.

Se hai dubbi... emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Danni
#35490
avt
Lorenzomag1980
Punto
Grazie mille! Siete stati molto chiari!

Quindi il mio libro sbaglia nel darmi come soluzione solo a = 4 ∨ a = 7, dicendomi così che questi rendono l'equazione esistente!

Un'altra domanda: i coefficienti di x e y possono essere uguali in quanto così si può moltiplicare l'intera equazione per il loro reciproco ed annullarli?
#35493
avt
Danni
Sfera
Non è che annulli i coefficienti dei termini quadrati ma li rendi unitari.
Se tu li annullassi ( = 0) poveri noi emt

I coefficienti dei termini quadrati devono sempre essere uguali altrimenti, con i segni concordi, salta fuori un'ellisse emt

Quando hai determinato l'equazione in forma implicita (non canonica) la porti alla forma canonica dividendo tutti i coefficienti per il coefficiente di x quadrata e y quadrata.

Evidentemente il tuo libro non ha tenuto conto di una condizione indispensabile, la realtà del raggio emt

In generale l'equazione di una conica è la seguente:

ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f = 0

L'equazione rappresenta una circonferenza se e solo se:

a) manca il termine rettangolare xy
b) i coefficienti dei termini quadrati sono uguali
c) la misura del raggio è non negativa.
emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, xavier310, Lorenzomag1980
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