Equazione della circonferenza con variabile

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Equazione della circonferenza con variabile #35474

avt
Lorenzomag1980
Punto
Salve! Volevo chiedervi come risolvere questo quesito di geometria analitica da terzo liceo scientifico sulla circonferenza!

L'esercizio richiede per quali valori di a l'equazione
(a^{2}-10a)x^{2}+(a-28)y^{2}-2x-3y-5=0

rappresenta una circonferenza.

Per quello che ho studiato, i coefficienti di x^{2} e y^{2} devono essere uguali a 1 per far sì che l'equazione rappresenti una cirfonferenza; purtroppo, però non so proseguire con il mio ragionamento. Ciò mi fa pensare che forse è sbagliato il mio punto di partenza. Potreste aiutarmi?
 
 

Re: Equazione della circonferenza con variabile #35487

avt
Danni
Sfera
Ciao Loremzomag emt

Nell'equazione canonica i coefficienti dei termini quadrati devono essere unitari, ma se l'equazione non è in forma canonica basta che siano uguali.
Così, con le condizioni

a \neq 0 \wedge a \neq 10 \wedge  a \neq 28  imponi

a^2 - 10a = a - 28

a^2 - 11a + 28 = 0

(a - 4)(a - 7) = 0

Nell'equazione deve inoltre mancare il termine rettangolare xy e qui non c'è.

Ora però devi verificare che i raggi delle due circonferenze non siano negativi.

La prima circonferenza per a = 4 ha equazione

24x^2 + 24y^2 + 2x + 3y + 5 = 0

che in forma canonica è

x^2 + y^2 + \frac{x}{12} + \frac{y}{8} + \frac{5}{24} = 0

Il raggio però è decisamente negativo e la circonferenza non è reale.

Per a = 7 la seconda circonferenza ha equazione

21x^2 + 21y^2 + 2x + 3y + 5 = 0

x^2 + y^2 + \frac{2}{21}x + \frac{y}{7} + \frac{5}{21} = 0

e anche in questo caso il raggio è negativo.
Nessun valore di a risolve il problema.

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit

Re: Equazione della circonferenza con variabile #35489

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao lorenzomag1980, benvenuto su YouMath emt

L'equazione che ci proponi è una circonferenza se e solo se rispetta due condizioni:

1) I coefficienti di x^2 e di y^2 devono essere uguali

2) Il quadrato del raggio della circonferenza deve essere maggiore (o uguale) a 0 (se è uguale hai una circonferenza degenere)


La prima condizione si traduce matematicamente nella seguente equazione:

\overbrace{a^2-10a}^{\mbox{coeff }x^2}= \overbrace{a-28}^{\mbox{coeff} y^2}

Risolvendo l'equazione otterremo a=4\vee a=7

Per a=4 l'equazione diventa:

-24x^2-24 y^2-2x-3y-5=0

Dividiamo membro a membro per - 24, così da scrivere l'equazione della circonferenza in modo canonico:

x^2+ y^2+\frac{2}{24}x+\frac{3}{24}y+\frac{5}{24}=0

Semplificando:

x^2+ y^2+\frac{1}{12}x+\frac{1}{8}y+\frac{5}{24}=0

Il quadrato del raggio è dato da:

\left(\frac{\frac{1}{12}}{2}\right)^2+\left(\frac{\frac{1}{8}}{2}\right)^2-\frac{5}{24}=-\frac{467}{2304}<0

Il quadrato del raggio è negativo quindi per a=4 non abbiamo la circonferenza.

Procediamo allo stesso modo per a=7, l'equazione si scrive come:

-21x^2-21 y^2-2x-3y-5=0

Dividiamo membro a membro per -21:

x^2+y^2+\frac{2}{21}x+\frac{3}{21}y+\frac{5}{21}=0

Il raggio al quadrato è dato da:

\left(\frac{\frac{2}{21}}{2}\right)^2+\left(\frac{\frac{3}{21}}{2}\right)^2-\frac{5}{21}=-\frac{709}{3528}<0

Anche in questo caso il raggio è negativo. In definitiva, non abbiamo circonferenze per alcun valore di a.

Se hai dubbi... emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Danni

Re: Equazione della circonferenza con variabile #35490

avt
Lorenzomag1980
Punto
Grazie mille! Siete stati molto chiari!

Quindi il mio libro sbaglia nel darmi come soluzione solo a=4 \vee  a=7 , dicendomi così che questi rendono l'equazione esistente!

Un'altra domanda: i coefficienti di x e y possono essere uguali in quanto così si può moltiplicare l'intera equazione per il loro reciproco ed annullarli?

Re: Equazione della circonferenza con variabile #35493

avt
Danni
Sfera
Non è che annulli i coefficienti dei termini quadrati ma li rendi unitari.
Se tu li annullassi ( = 0) poveri noi emt

I coefficienti dei termini quadrati devono sempre essere uguali altrimenti, con i segni concordi, salta fuori un'ellisse emt

Quando hai determinato l'equazione in forma implicita (non canonica) la porti alla forma canonica dividendo tutti i coefficienti per il coefficiente di x quadrata e y quadrata.

Evidentemente il tuo libro non ha tenuto conto di una condizione indispensabile, la realtà del raggio emt

In generale l'equazione di una conica è la seguente:

ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0

L'equazione rappresenta una circonferenza se e solo se:

a) manca il termine rettangolare xy
b) i coefficienti dei termini quadrati sono uguali
c) la misura del raggio è non negativa.
emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, xavier310, Lorenzomag1980
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