Equazione della circonferenza con variabile

Salve! Volevo chiedervi come risolvere questo quesito di geometria analitica da terzo liceo scientifico sulla circonferenza!

L'esercizio richiede per quali valori di a l'equazione

rappresenta una circonferenza.

Per quello che ho studiato, i coefficienti di e devono essere uguali a 1 per far sì che l'equazione rappresenti una cirfonferenza; purtroppo, però non so proseguire con il mio ragionamento. Ciò mi fa pensare che forse è sbagliato il mio punto di partenza. Potreste aiutarmi?

Ciao Loremzomag

Nell'equazione canonica i coefficienti dei termini quadrati devono essere unitari, ma se l'equazione non è in forma canonica basta che siano uguali.
Così, con le condizioni

imponi







Nell'equazione deve inoltre mancare il termine rettangolare xy e qui non c'è.

Ora però devi verificare che i raggi delle due circonferenze non siano negativi.

La prima circonferenza per a = 4 ha equazione



che in forma canonica è



Il raggio però è decisamente negativo e la circonferenza non è reale.

Per a = 7 la seconda circonferenza ha equazione





e anche in questo caso il raggio è negativo.
Nessun valore di a risolve il problema.

Ciao lorenzomag1980, benvenuto su YouMath

L'equazione che ci proponi è una circonferenza se e solo se rispetta due condizioni:

1) I coefficienti di x^2 e di y^2 devono essere uguali

2) Il quadrato del raggio della circonferenza deve essere maggiore (o uguale) a 0 (se è uguale hai una circonferenza degenere)


La prima condizione si traduce matematicamente nella seguente equazione:



Risolvendo l'equazione otterremo

Per l'equazione diventa:



Dividiamo membro a membro per - 24, così da scrivere l'equazione della circonferenza in modo canonico:



Semplificando:



Il quadrato del raggio è dato da:



Il quadrato del raggio è negativo quindi per a=4 non abbiamo la circonferenza.

Procediamo allo stesso modo per , l'equazione si scrive come:



Dividiamo membro a membro per -21:



Il raggio al quadrato è dato da:



Anche in questo caso il raggio è negativo. In definitiva, non abbiamo circonferenze per alcun valore di a.

Se hai dubbi...

Grazie mille! Siete stati molto chiari!

Quindi il mio libro sbaglia nel darmi come soluzione solo , dicendomi così che questi rendono l'equazione esistente!

Un'altra domanda: i coefficienti di e possono essere uguali in quanto così si può moltiplicare l'intera equazione per il loro reciproco ed annullarli?

Non è che annulli i coefficienti dei termini quadrati ma li rendi unitari.
Se tu li annullassi ( = 0) poveri noi

I coefficienti dei termini quadrati devono sempre essere uguali altrimenti, con i segni concordi, salta fuori un'ellisse

Quando hai determinato l'equazione in forma implicita (non canonica) la porti alla forma canonica dividendo tutti i coefficienti per il coefficiente di x quadrata e y quadrata.

Evidentemente il tuo libro non ha tenuto conto di una condizione indispensabile, la realtà del raggio

In generale l'equazione di una conica è la seguente:



L'equazione rappresenta una circonferenza se e solo se:

a) manca il termine rettangolare xy
b) i coefficienti dei termini quadrati sono uguali
c) la misura del raggio è non negativa.