Rettangolo inscritto in intersezione due circonferenze

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Rettangolo inscritto in intersezione due circonferenze #35273

avt
Fylax
Frattale
Salve carissimi!

Ormai è parecchio che non ho più a che fare con la geometria analitica e quelle poche cose che sapevo le ho (da bravo studente) dimenticate! Mi rivolgo allora a voi sperando di potermi togliere una curiosità che mi era venuta e alla quale non riuscivo a dare spiegazione.

Siano date due circonferenze x^2+y^2+6x-16=0 e x^2+y^2-6x-16=0 le quali se non erro dovrebbero essere simmetriche rispetto all'asse radicale, coincidente con l'asse delle ordinate. Determinare le equazioni dei lati di un rettangolo iscritto nella porzione di piano comune alle due circonferenze di perimetro p=16

Avevo pensato ovviamente (è poi davvero ovvio? emt ) di ricorrere ai fasci di rette impropri con coefficiente angolare nullo ma poi?
 
 

Re: Rettangolo inscritto in intersezione due circonferenze #35275

avt
kameor
Sfera
ciao,

si buona idea quella del fascio emt

l'equazione del fascio è:

x = k

poi calcola l'intersezione della retta con una delle due circonferenze:

{tex}
\begin{cases}
x = k \\
x^2 + y^2 + 6x - 16 = 0 \rightarrow k^2 + y^2 + 6k - 16 = 0
\end{cases}
{/tex}

la soluzione rispetto a y è:

y_1 = -\sqrt{16 -k^2 - 6k}

y_2 = \sqrt{16 -k^2 - 6k}

poi si sfrutta la simmetria delle due circonferenze, per cui se la retta x=k individua su una di esse i punti (k, y_1) e (k,y_2) allora la retta x = -k individua sulla circonferenza simmetrica i punti (-k, y_1) e (-k,y_2).

questi 4 punti sono i vertici del rettangolo,
misurando le distanze si trova che il perimetro misura:

\mbox{2p} = 4k + 4\sqrt{16 -k^2 - 6k} = 16

risolvendo l'equazione infine si trova k=1,

i vertici sono:

(1,3)
(1,-3)
(-1,3)
(-1,-3)
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Ifrit, Fylax

Re: Rettangolo inscritto in intersezione due circonferenze #35276

avt
Fylax
Frattale
Per essere sicuro che ci stiamo capendo, in linea teorica avrei potuto usare anche un fascio del tipo y=k e trovare soluzioni in funzione di x, vero?

Tornando alla tua soluzione però: una volta trovati i 4 punti in funzione di k parli di misurare le distanze ma forse sono un po' tardo perché non riesco a comprendere poi cosa hai fatto

Comunque grazie emt

Re: Rettangolo inscritto in intersezione due circonferenze #35278

avt
kameor
Sfera

Per essere sicuro che ci stiamo capendo, in linea teorica avrei potuto usare anche un fascio del tipo y=k e trovare soluzioni in funzione di x, vero?

si, si poteva fare anche in quel modo emt

ho preferito usare il fascio x = k perchè è un po piu semplice risolvere l'equazione.


Tornando alla tua soluzione però: una volta trovati i 4 punti in funzione di k parli di misurare le distanze ma forse sono un po' tardo perché non riesco a comprendere poi cosa hai fatto


Immagine_2012 10 12


A = (-k,y_2)

B = (k,y_2)

C = (k,y_1)

D = (-k,y_1)

il perimetro è: {tex}\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD}
+\overline{CD} = 2(\overline{AB} + \overline{BC}){/tex}

perchè i lati sono a due a due uguali.

siccome i lati stanno su rette parallele agli assi la loro lunghezza si misura semplicemente facendo la differenza tra le coordinate che sono diverse.

\overline{AB} = k - (-k) = 2k

\overline{BC} = y_2 - y_1 = 2\sqrt{16 - k^2 - 6k}
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Ifrit, Fylax

Re: Rettangolo inscritto in intersezione due circonferenze #35281

avt
Danni
Sfera
Ciao, puoi senz'altro (anzi, devi emt ) utilizzare un fascio di rette parallele all'asse y o all'asse x, dando però le necessarie limitazioni al parametro. E' davvero ovvio perché i lati del rettangolo sono paralleli agli assi.

Puoi anche procedere individuando le coordinate dei vertici oppure, più analiticamente, in questo modo.

Considera questa volta il fascio di parallele all'asse x di equazione

y = k

Non è affatto vero che l'equazione sia più complessa, anzi mi pare agevolissima.

Poichè le circonferenze si intersecano in

A(0;4)

B(0;-4)

le limitazioni per il parametro sono date da

- 4 < k < 4

estremi esclusi o si avrebbero rettangoli degeneri.

L'ntersezione della prima circonferenza con il fascio improprio dà la risolvente

x^2 + 6x + k^2 - 16 = 0

che risolvi considerando la maggiore delle soluzioni:

x_2 = - 3 + \sqrt{25 - k^2}

L'intersezione della seconda circonferenza con lo stesso fascio di rette dà la risolvente

x^2 - 6x + k^2 - 16 = 0

di cui consideri la minore delle soluzioni:

x_1 = 3 - \sqrt{25 - k^2}

Nota che la realtà del radicale è implicita nelle limitazioni date al parametro.

La misura della base del rettangolo, diciamo PQ, è data dalla differenza in valore assoluto delle ascisse:

\overline{PQ}= |x_2 - x_1| = 2\sqrt{25 - x^2} - 6

La misura dell'altezza del rettangolo, diciamo PH, risulta

\overline{PH} = 2k

La somma di base e altezza dà il semiperimetro:

- 6 + 2\sqrt{25 - k^2}+ 2k = 8

che porta all'equazione

\sqrt{25 - k^2}= 7 - k

Anche la positività del secondo membro è implicita nelle limitazioni iniziali, quindi puoi elevare al quadrato ottenendo

k^2 - 7x + 12 = 0

(k - 3)(k - 4) = 0

Per le limitazioni l'unica soluzione è

k = 3

Le equazioni delle due parallele all'asse x richieste sono

y = \pm 3

Con questo risultato, le equazioni delle parallele all'asse y sono

x = \pm 1

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Fylax
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