Esercizio sulla distanza tra due punti nel piano

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Esercizio sulla distanza tra due punti nel piano #35048

avt
pabloss
Punto
Salve, credo di aver compreso l'argomento, ma non riesco proprio a risolvere questo esercizio sulle distanze tra punti nel piano.

Gradirei cortesemente avere delle delucidazioni a riguardo.

Dati i punti A(-2;-4) e B(4;1), determinare il punto C in modo che \overline{AC} sia il doppio di \overline{BC}.

Vi ringrazio infinitamente in anticipo per la disponibilità!
 
 

Esercizio sulla distanza tra due punti nel piano #35050

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao pabloss!

In questo formulario, innanzitutto, puoi trovare la formula per il calcolo della distanza tra due punti nel piano.

Sia C= (x,y) allora:

\overline{AC}= \sqrt{(-2-x)^2+ (-4-y)^2}

mentre

\overline{BC}=\sqrt{(4-x)^2+ (1-y)^2}

Ora l'esercizio richiede che:

\overline{AC}= 2\overline{BC}\iff

\sqrt{(-2-x)^2+ (-4-y)^2}= 2\sqrt{(4-x)^2+ (1-y)^2}

elevando al quadrato membro a membro così da eliminare la radice:

(-2-x)^2+ (-4-y)^2= 2^2((4-x)^2+ (1-y)^2)

Espandiamo i quadrati usando la regola del quadrato di un binomio

x^2+4x+4+ y^2+8 y+16= 4(x^2-8x+16+ 1+y^2-2y)

Portiamo tutto al primo membro e sommando i termini simili otterremo:

-3x^2-3y^2+36x+16 y-48=0\iff x^2+y^2-12x-\frac{16}{3}y+16=0

che rappresenta una circonferenza di centro:

c=\left(6, \frac{8}{3}\right) e raggio r=\frac{2}{3}\sqrt{61}

Se il punto C giace sulla circonferenza allora soddisfa l'equazione:

\overline{AC}=2\overline{BC}
Ringraziano: Omega, Pi Greco, pabloss

Esercizio sulla distanza tra due punti nel piano #35058

avt
pabloss
Punto
Grazie infinite, problema risolto!
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Os