Rette tangenti ad un'ellisse

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Rette tangenti ad un'ellisse #34411

avt
Luke
Cerchio
Ciao ragazzi emt ho una domanda su un esercizio riguardo alle rette tangenti ad un'ellisse.

Data l'ellisse x^2+9y^2=1, determina le equazioni della tangenti parallele alla retta x+3y=1.

Volevo solo sapere se per risolvere l'esercizio bastava fare il sistema tra le due equazioni.

Grazie emt
 
 

Rette tangenti ad un'ellisse #34420

avt
Omega
Amministratore
Ciao Luke emt

Assolutamente no: il sistema tra le due equazioni ti porterebbe ad individuare le coordinate dei punti di intersezione tra ellisse e retta, qualora ne esistessero.

Per risolvere l'esercizio devi sfruttare la condizione di parallelismo delle tangenti richieste con la retta assegnata, il che vuol dire: stesso coefficiente angolare. L'equazione della retta assegnata, scritta nella forma y=mx+q, è

y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}

Il coefficiente angolare di tale retta è pari a m=-\frac{1}{3}. Qualsiasi retta parallela ad essa dovrà condividere lo stesso coefficiente angolare

y=-\frac{1}{3}x+q

Tale equazione individua un fascio improprio di rette (rette parallele). A questo punto devi considerare il sistema equazione ellisse - equazione fascio improprio

\begin{cases}x^2+9y^2=1\\ y=-\frac{1}{3}x+q\end{cases}

e ricavarne un'equazione di secondo grado in x, sostituendo l'espressione di y nella prima equazione. Fatto ciò, devi imporre la condizione di tangenza tra una generica retta del fascio e l'ellisse: il discriminante (delta) dell'equazione di secondo grado in x deve annullarsi

\Delta=0

Il \Delta, naturalmente, dipenderà da q, e le soluzioni dell'equazione \Delta=0 individueranno tutte e sole le rette tangenti cercate. Ti basterà sostituire tali soluzioni nell'equazione del fascio

y=-\frac{1}{3}x+q
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Luke, Danni

Rette tangenti ad un'ellisse #34425

avt
Danni
Sfera
Ciao Luke emt

Il guaio è che non ti basi sul disegno, fondamentale per capire l'errore contenuto nella tua richiesta.

Come ti ha detto Omega, un'intersezione tra l'ellisse e la retta assegnata ti porta a calcolare le eventuali intersezioni tra le due, cosa che non ti interessa minimamente perché non è questo lo scopo del problema.

Se fai un disegno accurato ti accorgi subito che il tuo ragionamento non è corretto.
L'ellisse è molto schiacciata sull'asse x (vedi che razza di eccentricità si ritrova)
Disegna l'ellisse con i suoi bravi vertici

(\pm 1;0)

\left(0;\pm\frac{1}{3}\right)

Traccia la retta ed intersecala con gli assi:

A(1;0)

B\left(0;\frac{1}{3}\right)

Dunque la retta interseca l'ellisse proprio in due vertici, quindi è secante, quindi non c'entra nulla con le tangenti emt

Le due rette tangenti all'ellisse sono parallele a questa retta la cui equazione ti viene data per determinare il coefficiente angolare delle tangenti (rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare)

Pito? emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Luke

Rette tangenti ad un'ellisse #34435

avt
Luke
Cerchio
chiaro grazie ragazzi emt
Ringraziano: Omega, Danni
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Os