Problema con iperbole, circonferenza e rettangolo

Ciao, ho un problema da risolvere sull'equazione dell'iperbole e sulla circonferenza, e non lo so fare, non ci capisco niente >.<

Il problema dice: l'iperbole x^2/a^2 - y^2/b^2=-1 ha per asintoti le rette

3x ±radice 5y = 0

e incontra la circonferenza x^2+y^2=13 in quattro punti, vertici di un rettangolo avente il perimetro di misura 20.

Scrivere l'equazione dell'iperbole e calcolare le coordinate dei vertici del rettangolo.

Non so nemmeno da dove iniziare

Ciao Francesca,
ti faccio solo una traccia del problema:
Poichè l'equazione degli asintoti dell'iperbole è si ha che da qui puoi ricavare rispetto ad .
Per trovare i valori dei punti di intersezione fra l'iperbole e la circonferenza dobbiamo risolvere il sistema





da cui si ricava che


e che



Poichè l'iperbole dell'esercizio è messa in forma canonica e la circonferenza è centrata nell'origine si ha che i punti hanno come coordinate i valori ++,+-,-+ e --. Inoltre il rettangolo formato da tali punti ha i lati paralleli agli assi cartesiani quindi è molto semplice calcolare le lunghezze dei suoi lati (sempre in funzione di a).
A questo punto poiché il perimetro del rettangolo è 20 puoi calcolare il valore di mediante un'equazione.

Ho saltato vari passaggi perché volevo fare questo esercizio con te, per accertarmi che tu lo comprenda davvero. Se hai dubbi scrivi ancora

grazie, ma quindi sarebbe a =rad5 e b=-3?

Purtroppo non ho fatto tutti i conti, perchè dici questo?

perchè non ci capisco niente, dopo 3 ore a fare questi esercizi anche l'arabo sembrerebbe più facile

Ciao Francesca,
purtroppo non conosco l'arabo quindi non posso fare un paragone, comunque non disperare. Anzitutto abbiamo che

Ti spiego cosa fare anzitutto:
1- sostituisci al posto di b il valore che c'è sopra
2- risolvi il sistema (devi sommare e sottrarre opportunamente le due equazioni)
Fammi sapere se i tuoi risultati sono uguali ai miei.
Poi ti dico il resto, ok?

io mi trovo 9x^2-5y^2=-9a^2...ti trovi anche tu così?

poi ho fatto il sistema tra 9x^2-5y^2=-9a^2 e
x^2+y^2=13 e mi trovo x=±radice[(65-9a^2)/14]
y=±radice[(117+9a^2)/14], non so se sia giusto...

Non ho controllato i conti, comunque cerchiamo anzitutto di capire il procedimento, poi sistemiamo i conti.
A questo punto ti è chiaro che i lati del rettangolo misurano il doppio dei valori che hai trovato? (senza segno)
Tu sai che il doppio della somma dei lati fa 20, quindi a questo punto puoi ricavare a. Fammi sapere se non ti è chiaro

finalmente ho capito! grazie mille per tutto il tempo spreacato a spiegarmelo (: