Problema con iperbole, circonferenza e rettangolo

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Problema con iperbole, circonferenza e rettangolo #34161

avt
Francesca
Punto
Ciao, ho un problema da risolvere sull'equazione dell'iperbole e sulla circonferenza, e non lo so fare, non ci capisco niente >.<

Il problema dice: l'iperbole x^2/a^2 - y^2/b^2=-1 ha per asintoti le rette

3x ±radice 5y = 0

e incontra la circonferenza x^2+y^2=13 in quattro punti, vertici di un rettangolo avente il perimetro di misura 20.

Scrivere l'equazione dell'iperbole e calcolare le coordinate dei vertici del rettangolo.

Non so nemmeno da dove iniziare emt
 
 

Problema con iperbole, circonferenza e rettangolo #34177

avt
lorenzo45654
Frattale
Ciao Francesca,
ti faccio solo una traccia del problema:
Poichè l'equazione degli asintoti dell'iperbole è y=\pm\frac{b}{a} si ha che \frac{b}{a}=-\frac{3}{\sqrt{5}} da qui puoi ricavare b rispetto ad a.
Per trovare i valori dei punti di intersezione fra l'iperbole e la circonferenza dobbiamo risolvere il sistema

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}=-1

x^{2}+y^{2}=13

da cui si ricava che
y=\pm \sqrt{\frac{a^{2}+13}{\frac{a^{2}}{b^{2}}+1}}

e che

x=\pm \sqrt{\frac{\frac{13}{b^{2}}-1}{\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{a^{2}}}}

Poichè l'iperbole dell'esercizio è messa in forma canonica e la circonferenza è centrata nell'origine si ha che i punti hanno come coordinate i valori ++,+-,-+ e --. Inoltre il rettangolo formato da tali punti ha i lati paralleli agli assi cartesiani quindi è molto semplice calcolare le lunghezze dei suoi lati (sempre in funzione di a).
A questo punto poiché il perimetro del rettangolo è 20 puoi calcolare il valore di a mediante un'equazione.

Ho saltato vari passaggi perché volevo fare questo esercizio con te, per accertarmi che tu lo comprenda davvero. Se hai dubbi scrivi ancora
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Francesca

Problema con iperbole, circonferenza e rettangolo #34185

avt
Francesca
Punto
grazie, ma quindi sarebbe a =rad5 e b=-3?

Problema con iperbole, circonferenza e rettangolo #34189

avt
lorenzo45654
Frattale
Purtroppo non ho fatto tutti i conti, perchè dici questo?

Problema con iperbole, circonferenza e rettangolo #34194

avt
Francesca
Punto
perchè non ci capisco niente, dopo 3 ore a fare questi esercizi anche l'arabo sembrerebbe più facile emt

Problema con iperbole, circonferenza e rettangolo #34195

avt
lorenzo45654
Frattale
Ciao Francesca,
purtroppo non conosco l'arabo quindi non posso fare un paragone, comunque non disperare. Anzitutto abbiamo che
b=\frac{3a}{\sqrt{5}}
Ti spiego cosa fare anzitutto:
1- sostituisci al posto di b il valore che c'è sopra
2- risolvi il sistema (devi sommare e sottrarre opportunamente le due equazioni)
Fammi sapere se i tuoi risultati sono uguali ai miei.
Poi ti dico il resto, ok?
Ringraziano: Omega

Problema con iperbole, circonferenza e rettangolo #34197

avt
Francesca
Punto
io mi trovo 9x^2-5y^2=-9a^2...ti trovi anche tu così?

Problema con iperbole, circonferenza e rettangolo #34198

avt
Francesca
Punto
poi ho fatto il sistema tra 9x^2-5y^2=-9a^2 e
x^2+y^2=13 e mi trovo x=±radice[(65-9a^2)/14]
y=±radice[(117+9a^2)/14], non so se sia giusto...

Problema con iperbole, circonferenza e rettangolo #34200

avt
lorenzo45654
Frattale
Non ho controllato i conti, comunque cerchiamo anzitutto di capire il procedimento, poi sistemiamo i conti.
A questo punto ti è chiaro che i lati del rettangolo misurano il doppio dei valori che hai trovato? (senza segno)
Tu sai che il doppio della somma dei lati fa 20, quindi a questo punto puoi ricavare a. Fammi sapere se non ti è chiaro
Ringraziano: Pi Greco

Problema con iperbole, circonferenza e rettangolo #34202

avt
Francesca
Punto
finalmente ho capito! grazie mille per tutto il tempo spreacato a spiegarmelo (:
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Os