Coniche e equazione con parametro

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Coniche e equazione con parametro #33721

avt
Dave
Punto
Ciao, mi aiutate con questo problema sulla classificazione delle coniche da un'equazione con parametro?

Determina per quali valori di k l'equazione

\frac{x^{2}}{3k+1}-\frac{y^{2}}{9-k^{2}}=1

rappresenta:

a) un'iperbole;
b) un'iperbole equilatera (già risolto);
c) un'iperbole con fuochi sull'asse x;
d) un'ellisse;
e) una circonferenza.

Non scomodatevi a fare calcoli, mi basterebbe sapere solo il procedimento e quali condizioni bisogna porre per risolvere i quesiti.

Grazie mille in anticipo!
 
 

Re: Coniche e equazione con parametro #33857

avt
Omega
Amministratore
Si tratta sostanzialmente di prendere le equazioni standard delle varie coniche e di imporre le condizioni che le caratterizzano.

Tutta la teoria e le formule che ti servono le trovi nella sezione dei formulari di Geometria Analitica.

Ad esempio, nel caso della circonferenza con centro l'origine degli assi, sappiamo che l'equazione deve essere della forma

x^2+y^2=r^2

o, equivalentemente

\frac{1}{r^2}x^2+\frac{1}{r^2}y^2=1

In tal caso dovrai imporre

\begin{cases}3k+1=9-k^2\\ 3k+1>0\\ 9-k^2<0\end{cases}

la terza condizione fa sì che il secondo addendo dell'equazione si possa scrivere nella forma +\frac{y^2}{-(9-k^2)}, con -(9-k^2) positivo.

---

Ora: formule dell'iperbole e dell'iperbole equilatera alla mano...

Per l'iperbole, sappiamo che l'equazione può essere della forma

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

oppure

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1

dunque dobbiamo richiedere, rispettivamente, che

\begin{cases}3k+1>0\\ 9-k^2>0\end{cases}

oppure

\begin{cases}3k+1<0\\ 9-k^2<0\end{cases}

Nella prima delle due eventualità l'iperbole avrà i fuochi sull'asse delle x.

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Per avere un'ellisse, prendiamo come riferimento l'equazione

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

e quindi dobbiamo imporre che

\begin{cases}3k+1>0\\ 9-k^2<0\end{cases}

per far sì che entrambi i coefficienti fratti siano positivi.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit
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