Equazione dell'iperbole equilatera con asintoti e un punto

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Equazione dell'iperbole equilatera con asintoti e un punto #33473

avt
Luke
Cerchio
Ciao a tutti ragazzi emt un esercizio mi chiede di scrivere l'equazione di un'iperbole equilatera, riferita ai propri asintoti, passante passante per il punto di coordinate \left(3,\frac{3}{2}\right).

Nel seguito mi chiede di determinare i vertici e i fuochi della curva.

Risultato: xy=2 e \left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right),\ (-\sqrt{2},-\sqrt{2}),\ (2,2),\ (-2,-2)

Mi date una mano per favore? emt

Grazie mille
 
 

Re: Equazione dell'iperbole equilatera con asintoti e un punto #33495

avt
Omega
Amministratore
Ciao Luke,

sei certo del risultato del libro? Il punto \left(3,\frac{3}{2}\right) non appartiene all'iperbole equilatera di equazione xy=2.
Ringraziano: Luke

Re: Equazione dell'iperbole equilatera con asintoti e un punto #33497

avt
Luke
Cerchio
No cavolo scusa ho sbagliato il punto è (3,2/3) che stupido emt

Re: Equazione dell'iperbole equilatera con asintoti e un punto #33504

avt
Danni
Sfera
Ciao Luke emt Questo è proprio facilino ma se non scrivi i dati giusti siamo nei guai emt
Perché il risultato sia quello del libro, l'ordinata di P non è 3/2 ma 2/3

P\left(3;\frac{2}{3}\right)

Il punto P assegnato appartiene al I quadrante.
L'iperbole equilatera (click per le formule) ha equazione generica

xy = \frac{a^2}{2}

Sostituisci le coordinate di P nell'equazione ed ottieni

\frac{a^2}{2} = 3 \left(\frac{2}{3}\right) = 2

L'iperbole equilatera richiesta ha equazione

xy = 2

Poiché in questo caso

\frac{a^2}{2} = 2

deriva che

a^2 = 4

Poiché nell'iperbole equilatera a = b,

c^2 = a^2 + b^2 = 2a^2

c^2 = 8

ovvero

c = 2\sqrt2

I vertici dell'iperbole equilatera hanno coordinate

V\left(\pm \frac{a}{\sqrt2};\pm \frac{a}{\sqrt2}\right)

Quindi

V\left(\pm \frac{2}{\sqrt2};\pm \frac{2}{\sqrt2}\right)

ovvero

V(\pm {\sqrt2};\pm{\sqrt2)

I fuochi hanno coordinate

F\left(\pm \frac{c}{\sqrt2};\pm \frac{c}{\sqrt2}\right)

quindi

F\left(\pm \frac{2\sqrt2}{\sqrt2};\pm \frac{2\sqrt2}{\sqrt2}\right)

ovvero

F(\pm 2;\pm 2)

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Luke

Re: Equazione dell'iperbole equilatera con asintoti e un punto #33514

avt
Luke
Cerchio
non ho capito perchè xy=a^2/2 è una formula generale?

Re: Equazione dell'iperbole equilatera con asintoti e un punto #33516

avt
Danni
Sfera
Sì, e deriva dalle formule di rotazione (45°) in senso orario.
Se la rotazione è in senso antiorario, l'equazione è

xy = - \frac{a^2}{2}

Quindi se la costante che figura al secondo membro è positiva, i rami dell'iperbole appartengono al I e III quadrante.
In caso contrario appartengono al II e IV quadrante.

Oltre a scrivere in questo modo l'equazione dell'iperbole equilatera riferita agli asintoti, vi sono formule fisse che sono quelle che ti ho indicato per i vertici e per i fuochi, ed un'altra molto importante riguarda l'eccentricità che nell'iperbole equilatera è

e = \sqrt2

Con questi dati a disposizione, vai volando emt
Ringraziano: Omega, Luke, ceccopesce

Re: Equazione dell'iperbole equilatera con asintoti e un punto #33517

avt
Luke
Cerchio
thanks emt
Ringraziano: Danni
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Os