Equazione delle tangenti all'ellisse con coefficente angolare

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Equazione delle tangenti all'ellisse con coefficente angolare #33114

avt
Luke
Cerchio
Ciao ragazzi, mi aiutate per favore con un esercizio sulle rette tangenti ad un'ellisse?

Scrivi le equazioni delle tangenti all'ellisse di equazione x^2+2y^2=1 che hanno coefficiente angolare 2

Risultato:

y=2x\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}

Grazie! emt
 
 

Re: Equazione delle tangenti all'ellisse con coefficente angolare #33118

avt
Danni
Sfera
Ciao Luke emt

L'ellisse ha equazione

x^2 + 2y^2 = 1

Il fascio di rette parallele con coefficiente angolare assegnato ha equazione

y = 2x + q

Intersechiamo l'ellisse con il fascio ed otteniamo la risolvente

x^2 + 2(2x + q)^2 - 1 = 0

9x^2 + 8qx + 2q^2 - 1 = 0

Per la condizione di tangenza imponiamo nullo il discriminante della risolvente:

\frac{\Delta}{4} = 16q^2 - 18q^2 + 9 = 0

2q^2 - 9 = 0

q = \pm \frac{3}{\sqrt2}\Leftrightarrow q = \pm \frac{3\sqrt2}{2}

Le tangenti all'ellisse richieste hanno equazione

y = 2x \pm \frac{3\sqrt2}{2}
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Luke

Re: Equazione delle tangenti all'ellisse con coefficente angolare #33119

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Luke emt

Per prima cosa costruiamo il fascio improprio di rette con coefficiente angolare due:

y=2x+q dove q è il termine da determinare:

Impostiamo il sistema tra l'ellisse e il fascio di rette:

\begin{cases}x^2+2y^2=1\\ y=2x+q\end{cases}

La risolvente, cioè l'equazione di secondo grado associata al sistema, è:

x^2+2(2x +q)^2=1

Sviluppiamo i conti:

9x^2+8q x+2 q^2=1\iff 9x^2+8 q x+2q^2-1=0

Il discriminante associato è:

\Delta= 64q^2-4\cdot 9\cdot (2q^2-1)=[conti]= 36-8q^2

Affinché la retta sia tangente all'ellisse dobbiamo richiedere che il discriminante sia uguale a zero (condizione di tangenza):

36-8 q^2=0\iff q^2= \frac{36}{8}

quindi:

q^2= \frac{9}{2}\implies q=\pm \sqrt{\frac{9}{2}}= \pm\frac{3}{\sqrt{2}}=

=\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}

Abbiamo determinato q, quindi le rette tangenti sono:

y=2x\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}

Se hai bisogno di chiarimenti, sai cosa fare emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Luke, Danni

Re: Equazione delle tangenti all'ellisse con coefficente angolare #33122

avt
Luke
Cerchio
Ifrit scusa ma dall'equazione risolvente assiciata al sistema, come fa ad uscire dal delta 64q^2?

Re: Equazione delle tangenti all'ellisse con coefficente angolare #33124

avt
Ifrit
Amministratore
L'equazione risolvente è:

9x^2+8q x+2 q^2+1=0

Comprendiamo quindi che i coefficienti associati all'equazione di secondo grado sono:

a=9, b=8q, c=2q^2+1

La formula del discriminante è:

\Delta= b^2-4 a c

Sostituiamo i coefficienti:

\Delta= (8 q)^2-4\cdot 9\cdot (2 q^2+1)

Ora per le proprietà delle potenze:

(8 q)^2= 8^2 q^2= 64 q^2

quindi:


\Delta= 64q^2-4\cdot 9\cdot (2 q^2+1)

Tutto chiaro? emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Luke

Re: Equazione delle tangenti all'ellisse con coefficente angolare #33126

avt
Luke
Cerchio
si si grazie emt
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Os